Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 31
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.
Aufgabe
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
Aufgabe *
Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.
Aufgabe
Es sei eine Bilinearform auf dem mit den Werten , , und . Berechne . Handelt es sich um ein Skalarprodukt?
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei . Zu und sei
Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt , welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen und dem Skalarprodukt aus Beispiel 31.6?
Aufgabe
Es seien und reelle Vektorräume mit Skalarprodukten. Zeige, dass auf dem Produktraum durch
ein Skalarprodukt definiert ist.
Aufgabe
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung
gilt.
Aufgabe
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung
von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .
a) Zeige, dass bei die Beziehung
gilt.
b) Zeige, dass bei die Beziehung
Aufgabe
Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.
Aufgabe
Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem eine Norm ist.
Aufgabe
Zeige, dass die Summennorm auf dem eine Norm ist.
Aufgabe
Bestimme für den Vektor
den zugehörigen normierten Vektor bezüglich der euklidischen Norm, der Maximumsnorm und der Summennorm.
Aufgabe
Es sei . Zeige, dass für die Norm auf dem kein Skalarprodukt mit der Eigenschaft existiert.
Aufgabe
Es sei ein normierter Vektorraum über . Zeige, dass , aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist.
Aufgabe *
Aufgabe *
Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
Aufgabe *
Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf durch
eine Metrik definiert wird.
b) Bestimme zu und den Abstand .
c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.
Aufgabe
Es sei die Menge aller (Personen)-Bahnhöfe in Deutschland. Zu sei
die (zeitlich) kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von nach . Handelt es sich dabei um eine Metrik?
Aufgabe
Es sei das Achsenkreuz, also die Vereinigung von -Achse und -Achse.
Aufgabe *
Es sei ein normierter - Vektorraum und ein affiner Raum über . Zeige, dass durch
zu einem metrischen Raum wird.
Es sei eine Menge und
eine Funktion. Dann nennt man
das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .
Aufgabe
Es sei eine Menge und
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.
Aufgabe
Es sei eine Menge und
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.
- für alle .
- genau dann, wenn ist.
- Für und gilt
- Für gilt
Aufgabe
Es sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei
die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass die Supremumsnorm auf eine Norm ist.
Aufgabe
Es sei eine Menge, ein euklidischer Vektorraum und
die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass eine Folge aus genau dann gegen gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien Punkte in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft
gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien mit und . Zeige, dass es ein mit gibt.
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