Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 32

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Gleichheit genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.


Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.


Aufgabe *

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Es sei ein fixierter Vektor und . Zeige, dass

ein affiner Unterraum von ist.


Aufgabe

Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Es sei , , ein Erzeugendensystem von . Zeige, dass ein Vektor genau dann zum orthogonalen Komplement gehört, wenn

für alle ist.


Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthogonalbasis von . Zu jeder Teilmenge sei der von , , erzeugte Untervektorraum mit bezeichnet. Zeige, dass das orthogonale Komplement von gleich ist.


Aufgabe

Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge eine Orthonormalbasis?


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass

eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.



Die folgende Aufgabe ist die Grundlage der sogenannten Fourier-Analysis, bei der es darum geht, Schwingungen als Limes von trigonometrischen Schwingungen darzustellen.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktionen

mit

zu im Raum der stetigen Funktionen von nach ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

gegebenen Skalarproduktes bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.


Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.


Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe

Erstelle eine Orthonormalbasis des , die ein Vielfaches von enthält.


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und seien Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Es ist und .
  3. Sei endlichdimensional. Dann ist
  4. Sei endlichdimensional. Dann ist


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch

eine Isomorphie zwischen und seinem Dualraum gestiftet wird.


Aufgabe

Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.24 und Lemma 15.6.


Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf die von erzeugte Gerade.


Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

Untervektorräume. Es bezeichne die orthogonale Projektion von auf . Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die komplexen Zahlen seien mit dem Standardskalarprodukt versehen.

  1. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich .
  2. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
  3. Bestimme zu dem von erzeugten reellen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu .


Aufgabe (5 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen

mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.


Aufgabe (2 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.



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