Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 41

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Kern der Matrix und den Kern der transponierten Matrix .


Aufgabe

Es sei

eine bijektive winkeltreue Abbildung auf einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass die adjungierte Abbildung ebenfalls winkeltreu ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und einer Basis , . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass genau dann die adjungierte Abbildung zu ist, wenn

für alle ist.


Aufgabe

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus.


Aufgabe

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix beschrieben. Auf dem sei ein Skalarprodukt durch , und gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis .


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften erfüllt.


Aufgabe *

Es seien und euklidische Vektorräume und ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus . Es sei eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einer -linearen Abbildung . Es sei der adjungierte Endomorphismus zu . Zeige, dass mit dem adjungierten Endomorphismus zu , aufgefasst als reell-lineare Abbildung, bezüglich des zugehörigen reellen Skalarproduktes übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Zuordnung

antilinear ist.


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

die direkte Summe der Untervektorräume und . Es seien

und

lineare Abbildungen und

die Summe davon.

  1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. und stehen senkrecht aufeinander. Zeige
  2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum mit dem Dualraum .

  1. Zeige, dass durch

    ein Skalarprodukt auf dem Dualraum erklärt wird.

  2. Zeige, dass die natürliche Abbildung

    eine Isometrie zwischen und stiftet.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Identität ist selbstadjungiert.
  2. Die Hintereinanderschaltung von zwei selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert.
  3. Zu einer bijektiven selbstadjungierten Abbildung ist auch die Umkehrabbildung selbstadjungiert.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

ein selbstadjungierter Endomorphismus und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

selbstadjungiert ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor mit

für alle und einen eindeutig bestimmten Vektor mit

für alle gibt.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen von einen Untervektorraum in bilden.


Aufgabe

Es sei

eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass genau dann selbstadjungiert ist, wenn die Ordnung von gleich oder gleich ist.


Aufgabe *

Es sei eine reell-symmetrische -Matrix. Zeige, dass einen Eigenwert besitzt.


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Basis von . Es sei das durch

definierte Skalarprodukt auf . Zu einer linearen Abbildung bezeichne die (über ) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von bezüglich der Basis übereinstimmt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Vektorräume über , es seien

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über die beiden folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist linear.
  2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?


Aufgabe (4 Punkte)

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix beschrieben. Auf dem sei ein Skalarprodukt durch , und gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

die lineare Abbildung, die bezüglich der Basis durch die Matrix gegeben sei. Bestimme die Matrix zum adjungierten Endomorphismus von bezüglich dieser Basis.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix gegeben sei. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren von .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Zeige, dass die Matrix

aufgefasst als lineare Abbildung von nach , nicht selbstadjungiert ist, und zwar mit den folgenden Methoden.

  1. Bestimme die adjungierte Abbildung zu .
  2. Lemma 41.10  (1) ist nicht erfüllt.
  3. Lemma 41.10  (3) ist nicht erfüllt.
  4. Es gibt keine Orthonormalbasis von aus Eigenvektoren zu (d.h. die Konklusion aus Satz 41.11 ist nicht erfüllt.)


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