Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 41

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Eine Bilinearform oder eine Sesquilinearform auf einem -dimensionalen -Vektorraum wird bezüglich einer Basis durch ihre Gramsche Matrix beschrieben. Ebenso wird eine lineare Abbildung von nach durch eine Matrix beschrieben. Insgesamt liegt also eine Korrespondenz (bei )

vor. Auf der linken Seite sind Eigenschaften wie symmetrisch, hermitesch, positiv definit relevant, auf der rechten Seite Eigenwerte, Eigenräume, charakteristisches Polynom. Wie hängen diese zwei Begriffswelten zusammen? Mit solchen Fragen werden wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen. Dabei werden wir die Korrespondenz zwischen der linken und der rechten Seite nicht über die Fixierung einer Basis, sondern über die Fixierung eines Skalarproduktes erreichen.



Adjungierter Endomorphismus

Definition  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und

ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus

adjungiert zu , wenn

für alle gilt.


Beispiel  

Zu einer Isometrie

auf einem euklidischen Vektorraum ist die Umkehrabbildung der adjungierte Endomorphismus. Es ist ja in diesem Fall



Beispiel  

Zu einer Streckung auf einem -Vektorraum mit Skalarprodukt mit dem Streckungsfaktor ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor die adjungierte Abbildung. Es ist ja



Beispiel  

Die lineare Abbildung

besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt

Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix

beschrieben. Es ist ja einerseits

und andererseits

Bei ist dies beides gleich und bei steht beidseitig .




Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein Endomorphismus.

Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu und ist eindeutig bestimmt.

Beweis  

Es sei

gegeben und fixiert. Dann ist die Abbildung

eine Linearform auf . Daher gibt es (nach Korollar 38.6 im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe 41.14) einen durch und eindeutig bestimmten Rechtsgradienten aus mit

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

linear ist. Es ist

Da dies für alle gilt, muss

sein. Ferner ist

Da dies für alle gilt, ist


Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor die Linearform zuordnet, mit bezeichnet, so ist

wobei

die duale Abbildung bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Es sei

ein Endomorphismus, der bezüglich der Orthonormalbasis durch die Matrix beschrieben werde.

Dann wird der adjungierte Endomorphismus bezüglich dieser Basis durch die Matrix beschrieben.

Beweis  

Es sei die Orthonormalbasis und es seien

bzw.

die Matrizen von bzw. bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere

und

Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung

D.h.

und umgekehrt.



Lemma

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Dann erfüllt der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften (dabei seien Endomorphismen).

Beweis

Siehe Aufgabe 41.5.



Selbstadjungierte Endomorphismen

Definition  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein Endomorphismus. Dann heißt selbstadjungiert, wenn

für alle gilt.

Die Selbstadjungiertheit bedeutet also einfach

Eine Streckung ist genau dann selbstadjungiert, wenn der Streckungsfaktor reell ist.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

ein Endomorphismus.

Dann ist genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer (jeden) Orthonormalbasis von durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird.

Beweis  

Wenn selbstadjungiert ist, so folgt die Aussage aus Lemma 41.6. Wenn umgekehrt bezüglich einer Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird, so wird, wiederum nach Lemma 41.6, der adjungierte Endomorphismus bezüglich der Basis durch

beschrieben, stimmt also mit überein.




Lemma  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein selbstadjungierter Endomorphismus Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem -invarianten Untervektorraum ist auch das orthogonale Komplement -invariant.
  2. Alle Eigenwerte sind reell.
  3. Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
  4. Sei endlichdimensional. Dann zerfällt das charakteristische Polynom zu in Linearfaktoren.

Beweis  

(1). Sei und . Wegen der Invarianz von ist auch . Daher ist

Also steht senkrecht auf und gehört damit zu , was dessen Invarianz bedeutet.

(2). Dies ist nur bei relevant. Sei ein Eigenwert und ein Eigenvektor, also

Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist

also ist reell.

(3). Sei ein Eigenvektor zum Eigenwert und ein Eigenvektor zum Eigenwert . Dann ist

Dies ist nur bei

möglich.

(4). Wir können annehmen, dass mit dem Standardskalarprodukt vorliegt. Bei ist die Aussage bekannt, sei also . Wir können die Abbildung auch als Abbildung von nach auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind.


Die folgende Aussage heißt Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein selbstadjungierter Endomorphismus.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von aus Eigenvektoren zu .

Beweis  

Wir führen Induktion über die Dimension von . Nach Lemma 41.10  (4) besitzt einen Eigenvektor , den wir als normiert voraussetzen können, und nach Lemma 41.10  (1) ist das orthogonale Komplement

dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung

vor. Die Einschränkung von auf ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.

Insbesondere ist ein selbstadjungierter Endomorphismus diagonalisierbar.



Selbstadjungierte Endomorphismen und hermitesche Formen

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Ein Endomorphismus

induziert dann mit Hilfe des Skalarproduktes eine Form , die durch

definiert ist. Dafür gelten die folgenden Eigenschaften.



Lemma  

Sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Durch die Zuordnung

    wird einem Endomorphismus eine Sesquilinearform zugeordnet.

  2. Diese Zuordnung ist linear und bei endlichdimensionalem bijektiv.
  3. Sei endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann bijektiv, wenn nicht ausgeartet ist.
  4. Sei endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, wenn hermitesch ist.

Beweis  

(1). Es ist

und

also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist eine Sesquilinearform.

(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension , es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei ist für alle , so dass insbesondere und somit gilt.

(3). Wenn nicht bijektiv ist, so sei , . Dann ist die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Sei umgekehrt ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor , , derart, dass die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt und damit ist nicht bijektiv.

(4). Im selbstadjungierten Fall ist

Die Umkehrung folgt aus


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