Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix




Übungsaufgaben

Aufgabe *

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.


Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix


Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form


Aufgabe

Es sei eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom . Zeige direkt, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine -Matrix über gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom mit dem charakteristischen Polynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei

die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von .


Aufgabe

Schreibe die Matrix

(mit Einträgen aus ) als

mit Matrizen .


Aufgabe

Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe *

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.


Aufgabe

Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form

Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.


Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“


Aufgabe

Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
  2. Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .


Aufgabe

Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.


Aufgabe *

Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige -Permutationsmatrix über einem Körper .

a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .

b) Bestimme das Minimalpolynom von .

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.


Aufgabe

Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.


Aufgabe *

Bestimme die Ordnung der Matrix

über dem Körper mit Elementen.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare -Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe *

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über einem Körper

und sei
ein Polynom mit

und mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch

beschrieben wird.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

und

Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von

gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.



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