Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
und der zugehörigen
Norm
.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle
.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Dann gelten für die zugehörige
Norm
folgende Eigenschaften.
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
- Für
und
gilt
-
- Für
gilt
-
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
und der zugehörigen
Norm
.
Dann gilt bei
die Beziehung
und bei
die Beziehung
Ein
normierter Vektorraum
ist durch die
zugehörige Metrik
ein metrischer Raum.
Es sei ein
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
. Es seien
Vektoren, die aufeinander
senkrecht
stehen.
Dann ist
Es sei ein
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
,
,
eine
Orthonormalbasis
von
.
Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors bezüglich dieser Basis durch
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und es sei
eine
Basis
von
.
Dann gibt es eine
Orthonormalbasis
von
mit
für alle
.
Es sei ein endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und
ein
Untervektorraum.
Dann ist
d.h. ist die
direkte Summe
aus
und seinem
orthogonalen Komplement.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und
ein
Untervektorraum
mit einer
Orthonormalbasis
von
.
Dann ist die
orthogonale Projektion
auf durch
gegeben.
Es seien
und
Vektorräume
über
, die mit einem
Skalarprodukt
versehen seien, und sei
eine
lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist eine Isometrie.
- Für alle
ist
.
- Für alle
ist
.
- Für alle
mit
ist auch
.
Es seien und
euklidische Vektorräume
und sei
eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
ist eine Isometrie.
- Für jede
Orthonormalbasis
, von
ist
, Teil einer Orthonormalbasis von
.
- Es gibt eine Orthonormalbasis
, von
derart, dass
, Teil einer Orthonormalbasis von
ist.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Orthonormalbasis
von
. Es sei
eine
lineare Abbildung
und die
beschreibende Matrix
zu
bezüglich der gegebenen Basis.
Dann ist genau dann eine
Isometrie,
wenn
ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und sei
eine lineare Isometrie.
Dann besitzt jeder
Eigenwert
von den Betrag
.
Bei
sind nur die Eigenwerte
und
möglich.
Die Determinante einer linearen Isometrie
auf einem
euklidischen Vektorraum
ist
oder
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
eine Isometrie.
Dann besitzt eine
Orthonormalbasis
aus
Eigenvektoren
zu
.
Insbesondere ist
diagonalisierbar.
Es sei
eine eigentliche, lineare Isometrie.
Dann ist eine Drehung,
und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt
mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel
.
besitzt einen
Eigenvektor
zum
Eigenwert
,
d.h. es gibt eine Gerade
(durch den Nullpunkt),
die unter fest bleibt.
Es sei
eine
lineare Isometrie
auf einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
ein
invarianter Unterraum.
Dann ist auch das
orthogonale Komplement
invariant.
Insbesondere kann man als
direkte Summe
schreiben, wobei die Einschränkungen und
ebenfalls Isometrien sind.
Es sei
eine eigentliche Isometrie.
Dann ist eine Drehung um eine feste Achse.
Das bedeutet, dass in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form
beschrieben wird.
Es sei
ein
reeller
endlichdimensionaler Vektorraum
und
ein Endomorphismus.
Dann besitzt einen
-
invarianten Untervektorraum
der Dimension
oder
.
Es sei
eine
Isometrie
auf dem
euklidischen Vektorraum
.
Dann ist eine
orthogonale direkte Summe
von
-
invarianten Untervektorräumen,
wobei die
eindimensional und die
zweidimensional sind. Die Einschränkung von
auf den
ist die Identität, auf
die negative Identität und auf
eine Drehung ohne Eigenwerte.
Es sei
eine
winkeltreue lineare Abbildung
auf dem
euklidischen Vektorraum
.
Dann gibt es eine Isometrie
und eine Streckung
mit
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
ein
Untervektorraum
und
.
Dann ist derjenige Punkt auf
, der unter allen Punkten auf
zu
den minimalen Abstand besitzt.
Insbesondere ist
Es seien
und
windschiefe Geraden im mit Vektoren
.
Es sei
ein normierter Vektor, der zu
und
senkrecht sei.
Dann ist
Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene
sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene
sind genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre Winkel übereinstimmen.
In einem rechtwinkligen Dreieck
ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
Es sei ein
rechtwinkliges Dreieck
mit dem rechten Winkel im Punkt
. Es sei
die
Höhe
durch
und
der
Höhenfußpunkt
dieser Höhe auf der Geraden durch
und
.
Dann ist
Es sei ein
rechtwinkliges Dreieck
mit dem rechten Winkel im Punkt
. Es sei
die
Höhe
durch
und
der
Höhenfußpunkt
dieser Höhe auf der Geraden durch
und
.
Dann ist
In einem
Dreieck
mit den Seitenlängen
und dem
Winkel
an
gilt
Es sei ein Punkt in der
euklidischen Ebene
,
der Kreis mit Radius
und Mittelpunkt
und es sei
eine Gerade durch
, die den Kreis in den Punkten
und
trifft.
Dann ist für jeden Punkt
das Dreieck
rechtwinklig an
.
Es sei ein zweidimensionaler
euklidischer Vektorraum
und es seien
von
verschiedene Vektoren und
sei sowohl zu
als auch zu
linear unabhängig
sei. Es seien
und
die durch
und
definierten Geraden
(die Strahlen)
und es seien
und
Punkte in
mit den zugehörigen parallelen Geraden
und
. Die Schnittpunkte der Geraden seien
und es seien
.
Dann ist
Es sei ein zweidimensionaler
euklidischer Vektorraum
und es seien
von
verschiedene Vektoren und es sei
linear unabhängig
zu jedem dieser Vektoren. Es seien
,
,
die durch die
definierten Geraden
(die Strahlen)
und es seien
und
Punkte in
mit den zugehörigen parallelen Geraden
und
. Die Schnittpunkte der Geraden
(die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien
und es seien
.
Dann ist
In einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene
treffen sich die drei
Seitenhalbierenden
im Schwerpunkt des Dreiecks.
Es seien verschiedene Punkte in einer
euklidischen Ebene.
Dann besteht die
Mittelsenkrechte
zu
und
genau aus allen Punkten, die zu
und
den gleichen
Abstand
haben.
Die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem nichtausgearteten Dreieck der euklidischen Ebene
schneiden sich in einem Punkt.
Alle Eckpunkte des Dreiecks besitzen zu diesem Schnittpunkt den gleichen Abstand.
Es seien
linear unabhängige
Vektoren in
.
Dann liegen auf der
Winkelhalbierenden
zu
und
nur Punkte, die zu
und
den gleichen
Abstand
haben. Wenn ein Punkt zu
und
den gleichen Abstand besitzt, so liegt er auf der Winkelhalbierenden zu
und
oder auf der Winkelhalbierenden zu
und
.
Die drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck
treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.
Wenn die Eckpunkte durch
und die Seitenlängen mit
bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten
Es sei der
Umkreismittelpunkt
und
der
Schwerpunkt
eines
nichtausgearteten Dreieck
in der euklidischen Ebene.
Dann liegt der Punkt
auf jeder Höhe des Dreiecks.
Insbesondere schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum und
eine Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
mit
Wenn eine
Orthonormalbasis
von
und
ist, so ist dieser Vektor gleich
.
Es sei ein
Körper,
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Es seien
und
zwei
Basen
von
und es seien
bzw.
die
Gramschen Matrizen
von
bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
die wir durch die
Übergangsmatrix
ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
vom
Typ
.
Dann ist die
Gramsche Matrix
von bezüglich einer jeden
Orthogonalbasis
eine
Diagonalmatrix
mit
positiven und
negativen Einträgen.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis. Die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
seien für
von
verschieden. Es sei
die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
Dann ist vom
Typ
.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis und es seien
die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
- Genau dann ist
positiv definit, wenn alle
positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge
an jeder Stelle wechselt.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis.
Dann besitzt der
Typ
der Form folgende Interpretation:
ist die Summe der Dimensionen der
Eigenräume
zu
zu positiven
Eigenwerten
und
ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu
zu negativen Eigenwerten.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit einer
Sesquilinearform
. Es seien
und
zwei
Basen
von
und es seien
bzw.
die
Gramschen Matrizen
von
bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
die wir durch die
Übergangsmatrix
ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
ein Endomorphismus.
Dann existiert der
adjungierte Endomorphismus
zu und ist eindeutig bestimmt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und es sei
ein Endomorphismus.
Dann ist genau dann
selbstadjungiert,
wenn er bezüglich einer
(jeden)
Orthonormalbasis
von
durch eine
hermitesche Matrix
beschrieben wird.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
ein selbstadjungierter Endomorphismus.
Dann gibt es eine
Orthonormalbasis
von aus
Eigenvektoren
zu
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
ist normal.
- Für alle
gilt
-
- Für alle
gilt
-
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
ein normaler Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
ist ein Eigenwert von
genau dann, wenn
ein Eigenwert von
ist.
- Ein Vektor
ist ein Eigenvektor zum Eigenwert
genau dann, wenn
ein Eigenvektor zu
zum Eigenwert
ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
komplexer
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
ein Endomorphismus.
Dann ist genau dann
normal,
wenn es eine
Orthonormalbasis
aus
Eigenvektoren
zu
gibt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und es sei
eine
hermitesche Form
auf
.
Dann gibt es eine
Orthonormalbasis
von
(bezüglich des Skalarproduktes),
die eine
Orthogonalbasis
bezüglich
ist.
Jedes reelle quadratische Polynom
besitzt in einer geeigneten
(verschobenen)
Orthonormalbasis
die Form
(mit
)
oder die Form
(mit
)
Die
Untergruppen
von sind genau
die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl .
Es seien
und
Gruppen.
Ein
Gruppenhomomorphismus
ist genau dann
injektiv,
wenn der
Kern
von
trivial ist.
Es sei eine
Gruppe
und
eine
Untergruppe. Es seien
Elemente.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
.
.
.
.
.
.
.
Es sei eine endliche
Gruppe und
eine
Untergruppe
von
.
Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von
.
Es sei eine endliche
Gruppe.
Dann besitzt jedes Element
eine endliche
Ordnung.
Die Potenzen
sind alle verschieden.
Es sei eine endliche
Gruppe
und sei
ein Element.
Dann teilt die
Ordnung von
die
Gruppenordnung.
Es sei eine
Gruppe
und
eine
Untergruppe.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein Normalteiler von
.
- Es ist
für alle
und
.
ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von
.
Es seien
und
Gruppen
und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der
Kern
ein
Normalteiler
in
.
Es sei eine
Gruppe
und
ein
Normalteiler. Es sei
die Menge der
Nebenklassen
(die Quotientenmenge)
und
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es seien
und
Gruppen,
es sei
ein
Gruppenhomomorphismus
und
ein
surjektiver
Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass
ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien
und
Gruppen
und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Es seien
und
Gruppen
und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die
kanonische Projektion,
ein
Gruppenisomorphismus
und
die kanonische Inklusion der
Bildgruppe
ist.
Es sei eine
Gruppe
und
ein
Normalteiler mit der
Restklassengruppe
.
Es sei
ein weiterer Normalteiler in
, der
umfasst.
Dann ist das
Bild
von
in
ein Normalteiler und es gilt die kanonische
Isomorphie
Es sei
eine natürliche Zahl.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass die
Restklassenabbildung
ein Ringhomomorphismus ist.
ist ein kommutativer Ring mit
Elementen
(bei
).
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
ein
Untervektorraum. Es sei
die Menge der
Äquivalenzklassen
(die Quotientenmenge)
zu der durch
definierten Äquivalenzrelation
auf
und es sei
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte -Vektorraumstruktur auf
derart, dass
eine
-
lineare Abbildung
ist.
Es sei ein
Körper und es seien
und
Vektorräume
über
. Es sei
eine
lineare Abbildung
und
eine
surjektive
lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass
ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es sei ein
Körper und es sei
eine
surjektive
lineare Abbildung
zwischen
-
Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie
Es sei ein
Körper und es sei
eine
lineare Abbildung
zwischen
-
Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die
kanonische Projektion,
ein
Vektorraum-Isomorphismus
und
die kanonische Inklusion des
Bildraumes
in
ist.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum. Es sei
ein Untervektorraum.
Dann ist
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
eine bijektive
lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
orientierungstreu,
wenn die
Determinante
von
positiv ist.
Es sei
eine endliche
Untergruppe
der linearen
Bewegungsgruppe
der reellen Ebene.
Dann ist eine
zyklische Gruppe.
Es sei
eine endliche
Untergruppe
der
Gruppe
der
eigentlichen, linearen Isometrien
des
. Zu einer
Halbachse
von
sei
Dann sind für zwei
äquivalente Halbachsen
und
die Gruppen
und
isomorph.
Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.
Es sei
eine endliche
Untergruppe
der Ordnung
in der Gruppe der eigentlichen,
linearen Isometrien
des
. Es seien
die verschiedenen
Halbachsenklassen
zu
, und zu jeder dieser Klassen sei
,
, die Ordnung der Gruppe
,
, die nach
Fakt *****
unabhängig von
ist.
Dann ist
und mit
besitzt folgende ganzzahlige Lösungen.
und
.
- Bei
gibt es die Möglichkeiten
und
,
,
und
,
,
,
, und
,
,
,
, und
.
Es sei
eine endliche
Untergruppe
der
Gruppe
der
eigentlichen, linearen Isometrien
des
.
Dann ist eine der folgenden Gruppen.
- Eine
zyklische Gruppe
,
,
- Eine
Diedergruppe
,
,
- Die
Tetraedergruppe
,
- Die
Würfelgruppe
,
- Die
Ikosaedergruppe
.
Es seien
und
normierte
-
Vektorräume
und
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaft äquivalent.
ist stetig.
ist stetig im Nullpunkt.
- Die Menge
ist beschränkt.
-
Auf einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
sind je zwei
Normen
äquivalent.
Es seien
und
normierte
-
Vektorräume
und
eine
lineare Abbildung. Es sei
endlichdimensional.
Dann ist
stetig.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
ein
Endomorphismus.
Es sei
derart, dass die Folge
konvergiert.
Dann ist der Grenzvektor
der Nullvektor oder ein
Eigenvektor
von zum
Eigenwert
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
ein Endomorphismus mit der Zerlegung (im Sinne von Satz 28.1)
mit einer (untereinander vertauschbaren) diagonalisierbaren und einer nilpotenten Abbildung mit
Dann besitzen die Potenzen von die Darstellung
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
-
ist asymptotisch stabil.
- Zu jedem
konvergiert die Folge
,
, gegen
.
- Es gibt ein
Erzeugendensystem
derart, dass
,
, gegen
konvergiert.
- Der Betrag eines jeden
komplexen Eigenwerts
von
ist kleiner als
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
ist stabil.
- Zu jedem
ist die Folge
,
, beschränkt.
- Es gibt ein
Erzeugendensystem
derart, dass
,
, beschränkt ist.
- Der Betrag eines jeden
komplexen Eigenwerts
von
ist kleiner oder gleich
und die Eigenwerte mit Betrag
sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
- Für eine beschreibende Matrix
von
, aufgefasst über
, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich
mit
oder gleich
mit
.
-