Kurs:Maß- und Integrationstheorie/1/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 11 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein topologischer Raum $X$ mit einer \stichwort {abzählbaren Basis} {.}
}{Eine \stichwortpraemath {\sigma} {Algebra}{} auf einer Menge $M$.
}{Eine
\stichwort {Schrumpfung} {}
für eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq M}{.}
}{Die \stichwort {Rotationsmenge} {}
\zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R \times \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine
\stichwortpraemath {p} {integrierbare Funktion}{}
auf einem
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
$(X, {\mathcal A }, \mu)$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {orthogonale Projektion} {}
auf einen vollständigen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem ${\mathbb K}$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
der Topologie gibt, die nur aus
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
vielen offenen Mengen besteht.
}{Ein Teilmengensystem
\mathl{{\mathcal A }}{} auf $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{M \in {\mathcal A }}{.}
}{Mit
\mathl{T \in {\mathcal A }}{} gehört auch das Komplement
\mathl{M \setminus T}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für jede abzählbare Familie
$T_i \in {\mathcal A }$, $i \in I$,
ist auch
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} T_i \in {\mathcal A }} { . }
}
}{Eine Schrumpfung von $T$ ist eine Folge von Teilmengen
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
in $M$ mit
\mathl{T_n \supseteq T_{n+1}}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} und mit
\mathl{T= \bigcap_{n \in \N} T_n}{.}
}{Die Rotationsmenge zu $T$ ist
\mathdisp {{ \left\{ (x, y \cos \alpha, y \sin \alpha ) \in \R^3 \mid (x,y) \in T , \, \alpha \in [0, 2 \pi] \right\} }} { . }
}{Eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {X} { {\mathbb K}
} {}
heißt
$p$-integrierbar,
wenn
\mathl{\int_X \betrag { f }^p d \mu}{} endlich ist.
}{Die Abbildung
\maabb {p_U} {V} {U
} {,}
die jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus der
\zusatzklammer {nach Fakt *****} {} {}
eindeutigen Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ u+w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zuordnet, heißt
orthogonale Projektion
auf $U$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.}{Der Satz über einfache Funktionen und messbare Funktion.}{Der \stichwort {Satz von Arzelà-Ascoli} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal P }$ ein
\definitionsverweis {Präring}{}{}
auf $M$ und
\maabbdisp {\mu} { {\mathcal P } } { \overline{\R}_{\geq 0}
} {}
ein
\definitionsverweis {äußeres Maß}{}{}
auf $M$. Dann ist die
\definitionsverweis {Fortsetzung}{}{}
$\tilde{\mu}$ des
\definitionsverweis {äußeren Maßes}{}{}
$\mu$ ein
\definitionsverweis {äußeres Maß}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} das auf ${\mathcal P }$ mit $\mu$ übereinstimmt.}{\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f} { M } { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare numerische}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {wachsende Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f_n} { M } {\R_{\geq 0}
} {,}
die punktweise gegen $f$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}{\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{ $T$ ist
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}
}{ $T$ ist
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal T } )}{} ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{\mathcal A }}{} die davon erzeugte
\definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{.}
Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
\mathdisp {(U_1 \cap A_1) \cup ( U_2 \cap A_2) \cup \ldots \cup (U_n \cap A_n)} { }
mit offenen Mengen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} und abgeschlossenen Mengen
\mathl{A_1 , \ldots , A_n}{} besteht.
}
{
Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra ${\mathcal A }$ müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu ${\mathcal A }$.
Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge $U$ kann man als
\mathl{U \cap X}{} schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da $X$ selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum $X$ von der angegebenen Form. Es sei eine Menge
\mathdisp {(U_1 \cap A_1) \cup \ldots \cup (U_n \cap A_n)} { }
gegeben. Ihr Komplement ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ X \setminus ( (U_1 \cap A_1) \cup \ldots \cup (U_n \cap A_n) )
}
{ =} { (X \setminus (U_1 \cap A_1)) \cap \ldots \cap (X \setminus (U_n \cap A_n))
}
{ =} { ( (X \setminus U_1) \cup (X \setminus A_1) ) \cap \ldots \cap ( (X \setminus U_n) \cup (X \setminus A_n) )
}
{ =} { \bigcup_{I \subseteq \{1 , \ldots , n \} } ( \bigcap_{i \in I} (X \setminus U_{i} ) \cap \bigcap_{j \in \{1 , \ldots , n\} \setminus I } (X \setminus A_j) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei sind die
\mathl{\bigcap_{i \in I} (X \setminus U_{i} )}{} jeweils abgeschlossen und die
\mathl{\bigcap_{j \in \{1 , \ldots , n\} \setminus I } (X \setminus A_j)}{} jeweils offen, sodass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.
Die Vereinigung von zwei Mengen in der angegebenen Form ist offensichtlich wieder von dieser Form.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die man als eine
\definitionsverweis {abzählbare}{}{}
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { \bigcup_{k \in \N_+} [ { \frac{ 1 }{ 2k+1 } }, { \frac{ 1 }{ 2k } } [
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine abzählbare disjunkte Vereinigung von Intervallen, die rechtsseitig offen sind. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Menge beschränkt. Da die unendlich vielen Punkte
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2k } }}{} nicht zu $T$ gehören, kann $T$ nicht eine endliche Vereinigung von Intervallen sein, da jeden Intervall nur eines der beteiligten Intervalle enthalten kann.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von $30$ cm und wird mit Öl und mit $25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von $4$ cm und eine Höhe von $0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von $0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von $1$ mm.
a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne
\zusatzklammer {rechne mit
\mathl{\pi =3{,}14}{;} Einheit nicht vergessen} {} {?}
b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?
}
{
a) Die Grundfläche der Pfanne ist
\mathl{15^2 \pi =225 \pi}{} und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist
\mathl{2^2 \pi =4 \pi}{}
\zusatzklammer {in Quadratzentimetern} {} {.}
Daher werden
\mathl{25 \cdot 4=100 \pi}{} Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und $125 \pi$ Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{100 \pi \cdot 0{,}01 + 125 \pi \cdot 0{,}1
}
{ =} { \pi + 12{,}5 \pi
}
{ =} { 13{,}5 \pi
}
{ \cong} { 13{,}5 \cdot 3{,}14
}
{ =} { 42{,}39
}
}
{}{}{.}
In der Pfanne befindet sich also
\mathl{42{,}39}{} Kubikzentimeter Öl.
b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche \zusatzklammer {für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln} {} {,} die Produktformel für das Maß \zusatzklammer {bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe} {} {} einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen \zusatzklammer {bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil} {} {} angewendet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {v=(2,3,-4) \text{ und } w=(1,-1,7)} { }
im $\R^3$
\definitionsverweis {erzeugten Parallelogramms}{}{}
\zusatzklammer {in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum} {} {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { 4+9+16
}
{ =} { 29
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 2-3-28
}
{ =} {-29
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { 1+1+49
}
{ =} { 51
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Determinante der zugehörigen Matrix ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 29 & -29 \\ -29 & 51 \end{pmatrix}
}
{ =} { 29 \cdot 51 - 29 \cdot 29
}
{ =} { 29 \cdot 22
}
{ =} { 638
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist der Flächeninhalt des Parallelogramms gleich
\mathl{\sqrt{638}}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Es sei $\mu$ ein
\definitionsverweis {translationsinvariantes Maß}{}{}
auf dem $\R^n$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei
\mathl{U \subset \R^n}{} ein echter
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige
\mathl{\mu(U)=0}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subset }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nehmen wir an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(U)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_d}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { { \left\{ a_1 u_1 + \cdots + a_d u_d \mid a_i \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das davon erzeugte $d$-dimensionale
\definitionsverweis {Parallelotop}{}{.}
Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope
\mathdisp {P_k=P+ k_1 u_1 + \cdots + k_d u_d,\, k=(k_1 , \ldots , k_d) \in \Z^d} { }
besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von $U$. Da es abzählbar viele sind, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(P)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Es sei nun
\mathl{u_{d+1} , \ldots , u_n}{} eine
Ergänzung
der Basis zu einer Basis von $V$, und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { { \left\{ a_1 u_1 + \cdots + a_d u_d + \cdots + a_n u_n \mid a_i \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige $n$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(R)
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope
\mathdisp {P_q=P + qu_n \text{ mit } q \in [0,1] \cap \Q} { . }
Diese liegen alle innerhalb von $R$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie $P$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von $u_n$ zu $U$ gehören würde. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ q \in [0,1] \cap \Q } \ \mu (P_q)
}
{ =} { \mu { \left( \bigcup_{ q \in [0,1] \cap \Q } P_q \right) }
}
{ \leq} { \mu (R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(R)
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,} ein Widerspruch.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { M } { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {numerische Funktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f }
}
{ =} { f_+ + f_-
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mathl{x \in M}{.} Bei
\mathl{f(x) \geq 0}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_+(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_-(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) }
}
{ =} { f(x)
}
{ =} { f_+(x)
}
{ =} { f_+(x) + f_-(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{f(x) < 0}{} ist hingegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_+(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_-(x)
}
{ = }{ -f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) }
}
{ =} { - f(x)
}
{ =} { f_-(x)
}
{ =} { f_+(x) + f_-(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Berechne das Integral
\mathdisp {\int_E x^3 +3xy^2 +xy d \lambda^2} { , }
wobei $E$ den Einheitskreis bezeichnet.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_E x^3 +3 xy^2 +xy d \lambda^2
}
{ =} { \int_{-1}^1 \int_{ - \sqrt{1-x^2} }^\sqrt{1-x^2} { \left( x^3 +3xy^2 +xy \right) } dy dx
}
{ =} { \int_{-1}^1 { \left( x^3y + xy^3 + { \frac{ 1 }{ 2 } } xy^2 \right) } {{|}}_{ - \sqrt{1-x^2} }^\sqrt{1-x^2} dx
}
{ =} { \int_{-1}^1 { \left( 2 x^3 \sqrt{1-x^2} + 2 x (1-x^2) \sqrt{1-x^2} \right) } dx
}
{ =} { \int_{-1}^1 2 x \sqrt{1-x^2} dx
}
}
{}
{}{.}
Mit der
Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sin t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dieses Integral gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \sin t \cos t \cos t dt
}
{ =} { 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin t \cos^{ 2 } t dt
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } } \cos^{ 3 } t {{|}} _{-\pi/2}^{\pi/2}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise die Transformationsformel für Maße für einen Diffeomorphismus \maabbdisp {\varphi} {\R^n } { \R^n } {} unter Verwendung geeigneter Sätze.
}
{
Ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
und seine
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
sind
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
daher liegt eine Bijektion der
\definitionsverweis {messbaren Teilmengen}{}{}
von
\mathkor {} {G} {und von} {H} {}
vor.
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten die beiden Zuordnungen
\maabbeledisp {} { {\mathcal B } ( G ) } { \overline{ \R }
} { S } { \int_{ S } \betrag { J(\varphi) (x) } \, d \lambda^n (x)
} {,}
also das
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf $G$ mit der
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
\mathl{\betrag { J(\varphi) (x) }}{,}
und
\maabbeledisp {} { {\mathcal B } ( G ) } { \overline{ \R }
} { S } { \lambda^n (\varphi(S))
} {,}
also das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
von $\lambda^n$ unter der Umkehrabbildung $\varphi^{-1}$, und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Nach
Korollar 14.1 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von
Aufgabe 9.3 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
bzw.
Korollar 13.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. \anfuehrung{nach oben halboffenen}{} achsenparallelen Quader, also Produkte von
\definitionsverweis {nach oben halboffenen Intervallen}{}{.}
Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen
\definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} im $\R^n$. Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
für das System der
\definitionsverweis {Borelmengen}{}{.}
Daher müssen nach
Satz 3.7 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
die beiden Maße generell übereinstimmen.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{11 (4+7)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^4 } {.}
a) Bestimme zu jedem Punkt
\mathl{(r,s) \in \R^2}{} das Volumen des Körpers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid r \leq x \leq r+1 , \, s \leq y \leq s+1 , \, 0 \leq z \leq f(x,y) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass das
\zusatzklammer {von $(r,s)$ abhängige} {} {}
Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt
\mathl{(r,s)}{} minimal ist
\zusatzklammer {dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden} {} {.}
}
{
a) Das Volumen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ r }^{ r+1 } \int_{ s }^{ s+1 } x^2+y^4 \, d y \, d x
}
{ =} { \int_{ r }^{ r+1 } { \left( x^2y + { \frac{ 1 }{ 5 } } y^5 \right) } | _{ s } ^{ s+1 } \, d x
}
{ =} { \int_{ r }^{ r+1 } { \left( x^2(s+1-s) + { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( (s+1)^5 -s^5 \right) } \right) } \, d x
}
{ =} { \int_{ r }^{ r+1 } { \left( x^2 + { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( 5s^4+10s^3+10s^2+5s+1 \right) } \right) } \, d x
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 + { \left( s^4+2s^3+2s^2+ s+ { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) } x \right) } | _{ r } ^{ r+1 }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( (r+1)^3-r^3 \right) } + { \left( s^4+2s^3+2s^2+ s+ { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) } { \left( r+1-r \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } (3r^2+3r+1) + s^4+2s^3+2s^2+ s+ { \frac{ 1 }{ 5 } }
}
{ =} { r^2+r + s^4+2s^3+2s^2+ s+ { \frac{ 8 }{ 15 } }
}
{ } {}
}
{}{.}
b) Die Ableitung der Volumenfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(r,s)
}
{ =} { r^2+r + s^4+2s^3+2s^2+ s+ { \frac{ 8 }{ 15 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {(2r+1, 4s^3+6s^2 +4s+1)} { . }
Ein Minimum kann nur vorliegen, wenn die Ableitung $0$ ist. Wir zeigen, dass dies nur für ein
\mathl{(r,s)}{} der Fall sein kann. Wegen der ersten Komponente muss
\mathl{r= - { \frac{ 1 }{ 2 } }}{} sein. Wir zeigen, dass die zweite Komponente
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(s)
}
{ =} { 4s^3+6s^2 +4s+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls nur eine Nullstelle besitzt, indem wir zeigen, dass $h$ streng wachsend ist. Die Ableitung von $h$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h'(s)
}
{ =} { 12s^2+ 12 s+4
}
{ =} { 12s (s+1) +4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion ist für
\mathl{s \to \infty}{} und
\mathl{s \to - \infty}{} offenbar positiv, sie besitzt also genau ein Minimum, und zwar wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h^{\prime \prime}(s)
}
{ =} { 24 s +12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Wert des Minimums von $h'$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h' { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { 12 { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } }+1 \right) } +4
}
{ =} {- 12 \cdot { \frac{ 1 }{ 4 } } +4
}
{ =} { - 3+4
}
{ =} { 1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Dies bedeutet, dass $h'$ stets positiv ist und somit ist $h$ streng wachsend. Da ferner $h$ ein Polynom vom Grad $3$ ist, also
\mathl{h(s) \to \infty}{} für
\mathl{s \to \infty}{} und
\mathl{h(s) \to -\infty}{} für
\mathl{s \to -\infty}{} gilt, besitzt $h$ genau eine Nullstelle. Insgesamt besitzt also
\mathl{V(r,s)}{} genau einen kritischen Punkt.
Wir müssen noch zeigen, dass in dem einzigen kritischen Punkt ein Minimum von
\mathl{V(r,s)}{} vorliegt. Die Hesse-Matrix zu $V$ ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 12s^2+12s+4 \end{pmatrix}} { . }
Diese Matrix ist für jedes $s$ nach der oben durchgeführten Berechnung positiv definit, also liegt im kritischen Punkt ein Minimum vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {total beschränkte}{}{}
Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} total beschränkt ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon'
}
{ \defeq }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es wegen der totalen Beschränktheit von $T$ endlich viele Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq} { \bigcup_{i=1}^n U { \left( P_i , \epsilon' \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ T }
}
{ \subseteq} { \bigcup_{i=1}^n U { \left( P_i , \epsilon \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ \overline{ T }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $Q$ konvergiert. Daher gibt es insbesondere ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(Q_n,Q)
}
{ \leq} { \epsilon'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen Punkt $P_i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_n
}
{ \in }{ U { \left( P_i , \epsilon' \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(P_i,Q)
}
{ \leq} { d(P_i,Q_n) + d(Q_n,Q)
}
{ <} { \epsilon' + \epsilon'
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U { \left( P_i , \epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {endlicher Maßraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ p
}
{ \leq }{ q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal L}^q(X)
}
{ \subseteq }{ {\mathcal L}^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathcal L}^q(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wie setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \defeq} { { \left\{ x \in X \mid \betrag { f } \leq 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X \betrag { f }^p d \mu
}
{ =} { \int_Z \betrag { f }^p d \mu +\int_{X \setminus Z } \betrag { f }^p d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der linke Summand ist höchstens $\mu(Z)$ und insbesondere endlich. Für den rechten Summanden gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{X \setminus Z} \betrag { f }^p d \mu
}
{ \leq} { \int_{X \setminus Z} \betrag { f }^q d \mu
}
{ \leq} { \int_{X} \betrag { f }^q d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was nach Voraussetzung auch endlich ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{} und sei $V'$ der \definitionsverweis {stetige Dualraum}{}{} von $V$. Zeige, dass die natürliche \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { V } { V' } { w } { { \left( v \mapsto \left\langle v , w \right\rangle \right) } } {,} eine \definitionsverweis {isometrische}{}{} \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} von Hilberträumen ist.
}
{
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Auswertung
\maabbeledisp {} { V } { {\mathbb K}
} { v } { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
nach
Aufgabe 21.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).
Es ist daher klar, dass eine lineare Abbildung von $V$ nach $V'$ vorliegt. Die Injektivität der Abbildung beruht darauf, dass das Skalarprodukt
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
ist. Die Surjektivität ist
Lemma 21.14 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)),
wir haben also eine Isomorphie. Zum Nachweis, dass eine Isometrie vorliegt, genügt es zu zeigen, dass die Norm von $w$ mit der Supremumsnorm
\zusatzklammer {auf der $1$-Sphäre} {} {}
der zugehörigen Linearform übereinstimmt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert { v } \Vert \cdot \Vert { w } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Satz 32.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Daher haben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert { w } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Norm $1$, was sich auf das Supremum überträgt. Ferner ist für
\zusatzklammer {es sei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ w
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ { \frac{ w }{ \Vert { w } \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ =} { \betrag { \left\langle { \frac{ w }{ \Vert { w } \Vert } } , w \right\rangle }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ 1 }{ \Vert { w } \Vert } } \left\langle w , w \right\rangle }
}
{ =} { \Vert { w } \Vert
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Supremum ist also gleich $\Vert { w } \Vert$. Daher ist auch $V'$ ein Hilbertraum.
}