Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Liste der Hauptsätze

???: Schubfachprinzip

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und ${}N$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen. Es sei  ${}m>n$. 

Dann gibt es keine injektive Abbildung

$M\longrightarrow N.$

 

???: Satz über die Abzählbarkeit von ${}\mathbb {Q}$

Die Menge der rationalen Zahlen

ist abzählbar.

 

???: Satz über die Überabzählbarkeit von ${}\mathbb {R}$

Die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$

ist nicht abzählbar.

 

???: Dynkin-System und ${}\sigma$-Algebra

Es sei ${}M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ sind äquivalent.

1. ${}{\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
2. ${}{\mathcal {A}}$ ist eine ${}\sigma$-Algebra.

 

???: Messbarkeitskriterium für Abbildungen

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {B}}$.

Dann ist ${}\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge  ${}T\subseteq N$  mit  ${}T\in {\mathcal {E}}$  das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.

 

???: Borel-Mengen und Quader

Die Menge der Borel-Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten ${}\sigma$- Algebra überein.

Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.

 

???: Messbarkeit stetiger Abbildungen

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume, die wir als Messräume mit den zugehörigen ${}\sigma$- Algebren der Borelmengen auffassen.

Dann ist jede stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

messbar.

 

???: Rechenregeln für Prämaße

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und ${}\mu$ ein Prämaß auf ${}{\mathcal {P}}$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  ${}\mu (\emptyset )=0$. 
2. Für Mengen  ${}S,T\in {\mathcal {P}}$  mit  ${}S\subseteq T$  gilt  ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$.  Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
3. Für Mengen  ${}S,T\in {\mathcal {P}}$  gilt  ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$. 
4. Seien ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit  ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$  Dann gilt

   ${}\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n})\,.$

5. Es sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfung in ${}{\mathcal {P}}$. Dann ist

   ${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

   wobei diese Folge monoton wachsend ist.

6. Es sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfung in ${}{\mathcal {P}}$ und sei  ${}\mu (T_{0})<\infty$  vorausgesetzt. Dann ist

   ${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

   wobei diese Folge monoton fallend ist.

 

???: Eindeutigkeitssatz für Maße

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit  ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$  und mit

${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty \,.$

Dann ist

${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

 

???: Fortsetzung von äußeren Maßen

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$.

Dann ist die Fortsetzung ${}{\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes ${}\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}\mu$ übereinstimmt.

 

???: Mengen mit Zerlegungseigenschaft zu äußerem Maß

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Mengensystem aller Teilmengen  ${}Z\subseteq M$,  die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine ${}\sigma$- Algebra.
2. Die Einschränkung von ${}{\tilde {\mu }}$ auf diese ${}\sigma$-Algebra ist ein Maß.

 

???: Prämaß und Zerlegungseigenschaft

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$.

Dann besitzen alle Mengen aus ${}{\mathcal {P}}$ die Zerlegungseigenschaft.

 

???: Fortsetzungssatz für Maße

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die von ${}{\mathcal {P}}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$.

Dann ist ${}{\tilde {\mu }}$ ein Maß auf ${}{\mathcal {A}}$.

Wenn ${}\mu$ ${}\sigma$- endlich ist, so ist ${}{\tilde {\mu }}$ die einzige Fortsetzung von ${}\mu$ zu einem Maß auf ${}{\mathcal {A}}$.

 

???: Beschreibung des Produkt-Präringes

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen.

Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

 

???: Konstruktion des Produktprämaßes auf Quadern

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die für eine endliche disjunkte Vereinigung

   ${}V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}\,$

   von Quadern  ${}Q_{i}=S_{i1}\times \cdots \times S_{in}$  (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch

   ${}\mu (V)=\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})\,$

   mit  ${}\mu (Q_{i})=\mu _{1}(S_{i1}){\cdots }\mu _{n}(S_{in})$  definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.

2. Es seien  ${}\mu _{i}(M_{i})<\infty$  (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ${}V\mapsto \mu (V)$ ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.

 

???: Produktsatz für Maße

Es seien ${}n$ ${}\sigma$- endliche Maßräume ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben.

Dann gibt es genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß ${}\mu$ auf der Produkt-${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$

besitzt.

 

???: Das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R}$

Es sei  ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$  die ${}\sigma$- Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$.

Dann gibt es genau ein (${}\sigma$- endliches) Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert  ${}\lambda ([a,b[)=b-a$  besitzt.

Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.

 

???: Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der ${}\sigma$- Algebra der Borel-Mengen ${}{\mathcal {B}}^{n}$ versehen.

Dann gibt es auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein (${}\sigma$- endliches) Maß

$\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$

das für alle Quader

${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,$

den Wert

${}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,$

besitzt.

Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.

 

???: Maß auf Untervektorräumen

Es sei ${}\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei  ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$  ein echter Untervektorraum.

Dann ist  ${}\mu (U)=0$. 

 

???: Translationsinvariante Maße auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$

ist das einzige translationsinvariante Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.

 

???: Translationsinvariante Maße

Es sei ${}\nu$ ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$, das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl  ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  mit  ${}\nu =c\lambda ^{n}$. 

 

???: Die lineare Transformationsformel

Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Abbildung.

Dann gilt für jede messbare Menge  ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  die Beziehung

${}\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

 

???: Isometrie und Maßtreue

Eine lineare Isometrie

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ist volumentreu.

 

???: Kanonisches Maß auf euklidischem Vektorraum

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß ${}\lambda _{V}$ auf den Borelmengen von ${}V$, das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist.

 

???: Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda _{V}$ auf ${}V$

${}\lambda _{V}(P)={\left(\det(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\,.$

 

???: Supremum von messbaren Funktionen

Es sei ${}I$ eine abzählbare Indexmenge und ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Es sei

$f_{i}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

($i\in I$) eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen ${}{\operatorname {sup} \,{\left(f_{i},i\in I\right)}}$ und ${}\inf {\left(f_{i},\,i\in I\right)}$ messbar.

 

???: Grenzfunktion von messbaren Funktionen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion ${}f$ konvergiere.

Dann ist auch ${}f$ messbar.

 

???: Einfache Funktionen und messbare Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen

$f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die punktweise gegen ${}f$ konvergieren.

 

???: Subgraph einer messbaren Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion.

Dann sind der Graph ${}\Gamma (f)$ und der Subgraph ${}S(f)$ messbare Teilmengen in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.

 

???: Charakterisierung von integrierbaren Funktionen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ ist integrierbar.
2. Der positive und der negative Teil von ${}f$ sind integrierbar.
3. Die Betragsfunktion ${}\vert {f}\vert$ ist integrierbar.
4. Es gibt eine integrierbare messbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit  ${}\vert {f(x)}\vert \leq h(x)$  für alle  ${}x\in M$. 

 

???: Graph einer messbaren Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion.

Dann ist der Graph ${}\Gamma (f)$ eine Nullmenge in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.

 

???: Tschebyschow-Abschätzung

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gilt für jedes  ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  die Abschätzung

${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

 

???: Allgemeine Transformationsformel

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Es sei ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$, das ebenfalls als ${}\sigma$- endlich vorausgesetzt sei, und es sei

$f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine ${}\nu$- integrierbare Funktion.

Dann ist auch ${}f\circ \varphi$ ${}\mu$- integrierbar, und es gilt

${}\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$

 

???: Satz von der monotonen Konvergenz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion ${}f$.

Dann gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

 

???: Riemann-integrierbare Funktionen und Maßtheorie

Es sei

$f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.

Dann gilt

${}\int _{I}f\,d\lambda ^{1}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,.$

 

???: Linearität des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum. Es seien ${}f,g$ integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf ${}M$ und  ${}a,b\in \mathbb {R}$. 

Dann ist auch ${}af+bg$ integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}(af+bg)\,d\mu =a\int _{M}f\,d\mu +b\int _{M}g\,d\mu \,.$

 

???: Lemma von Fatou

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und es sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,.$

 

???: Der Satz von der majorisierten Konvergenz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und es sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

$h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

mit  ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$  und alle  ${}x\in M$. 

Dann ist auch die Grenzfunktion  ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$  integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

 

???: Stetige Abhängigkeit des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum,  ${}t_{0}\in E$  und

$f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle  ${}t\in E$  ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ messbar.
2. Für alle  ${}x\in M$  ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ stetig in ${}t_{0}$.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   mit

   ${}\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle  ${}t\in E$  und alle  ${}x\in M$. 

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon E\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in ${}t_{0}$.

 

???: Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}I$ ein nichtleeres offenes Intervall und

$f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle  ${}t\in I$  ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ integrierbar.
2. Für alle  ${}x\in M$  ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ (stetig) differenzierbar.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle  ${}t\in I$  und alle  ${}x\in M$. 

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

(stetig) differenzierbar in ${}t$, die Zuordnung ${}x\mapsto f'(t,x)$ ist integrierbar und es gilt die Formel

${}\varphi '(t)=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x)\,.$

 

???: Querschnittslemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume und sei  ${}T\subseteq M\times N$  eine messbare Teilmenge.

Dann sind die Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \nu (T(x)),$

und

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \mu (T(y)),$

messbar.

 

???: Das Cavalieri-Prinzip (Integrationsversion)

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume.

Dann gilt für alle messbaren Teilmengen  ${}T\subseteq M\times N$  die Beziehung

${}(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$

 

???: Cavalieri-Prinzip (Verschiebungsversion)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$v\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine messbare Abbildung.

Dann ist die Abbildung

$\varphi _{v}\colon M\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M\times \mathbb {R} ^{n},\,(x,y)\longmapsto (x,y+v(x)),$

bijektiv und maßtreu.

 

???: Volumen eines Rotationskörpers

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

eine nichtnegative messbare Funktion und sei  ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  der Rotationskörper zum Subgraphen von ${}f$ um die ${}x$-Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,$

wobei für die zweite Formel ${}f$ als stetig vorausgesetzt sei.

 

???: Kegelvolumen

Es sei  ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  messbar,  ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$  ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei  ${}h=P_{n+1}$  die letzte Koordinate von ${}P$.

Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls messbar, und es gilt

${}\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

 

???: Der Satz von Fubini

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine integrierbare Funktion.

Dann sind die beiden Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

und

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,$

 

???: Integration des Produkts von zwei Funktionen über dem Produktraum

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume und es seien ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und ${}g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen.

Dann ist auch die Funktion

$fg\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto f(x)\cdot g(y),$

integrierbar und es gilt

${}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}f\,d\mu \cdot \int _{N}g\,d\nu \,.$

 

???: Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}S\subseteq G$  eine Nullmenge.

Dann ist auch ${}\varphi (S)$ eine Nullmenge.

 

???: Die Transformationsformel

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante  ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$  für  ${}x\in G$.  Es sei  ${}S\subseteq G$  eine messbare Menge.

Dann ist ${}\varphi (S)$ ebenfalls messbar und es gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (S))=\int _{S}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

 

???: Die Transformationsformel für Integrale

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$- Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für  ${}x\in G$.  Es sei

$f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ auf ${}H$ genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

 

???: Transformationsformel für Polarkoordinaten

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),$

die Polarkoordinatenauswertung und es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen, auf denen ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei

$f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

eine integrierbare Funktion.

Dann ist

$\int _{H}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{G}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot \vert {r}\vert \,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.$

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem ${}f$ die Formel

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.$

 

???: Fehlerintegral

Es ist

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,.$

 

???: Stetigkeit linearer Abbildungen

Es seien ${}V$ und ${}W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist stetig.
2. ${}\varphi$ ist stetig im Nullpunkt.
3. Die Menge

   ${\left\{\varphi (v)\mid v\in V,\,\Vert {v}\Vert =1\right\}}$

   ist beschränkt.

 

???: Höldersche Ungleichung

Es seien  ${}p,q\geq 1$  reelle Zahlen mit

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

$f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

messbare Funktionen, die ${}p$- bzw. ${}q$-integrierbar seien.

Dann gilt

${}\int _{X}fgd\mu =\Vert {fg}\Vert _{1}\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}\,.$

 

???: Minkowski-Ungleichung

Es sei  ${}p\geq 1$  eine reelle Zahl und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

$f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

${}p$- integrierbare Funktionen.

Dann gilt

${}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$

 

???: Vollständigkeitssatz von Fischer-Riesz

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum.

Dann ist der Lebesgueraum ${}L^{p}(X)$ der ${}p$- integrierbaren Funktionen vollständig.

 

???: Der Satz von Heine-Borel

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}T$ ist überdeckungskompakt.
2. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt einen Häufungspunkt in ${}T$.
3. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt eine in ${}T$ konvergente Teilfolge.
4. ${}T$ ist abgeschlossen und beschränkt.

 

???: Bild eines kompakten Raumes

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt.

Dann ist das Bild  ${}\varphi (X)\subseteq Y$  ebenfalls kompakt ist.

 

???: Maximum auf kompakten Mengen

Es sei ${}X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein  ${}x\in X$  mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in X.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

 

???: Satz von Dini

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum. Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}C(X,\mathbb {R} )$, die punktweise und monoton gegen ein  ${}f\in C(X,\mathbb {R} )$  konvergiert.

Dann ist die Konvergenz gleichmäßig.

 

???: Kompaktheit und Vollständigkeit

Ein kompakter metrischer Raum ${}X$

ist vollständig.

 

???: Charakterisierung von kompaktem metrischen Raum

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}X$ ist kompakt.
2. ${}X$ ist folgenkompakt.
3. ${}X$ ist vollständig und total beschränkt.

 

???: Satz von Arzelà-Ascoli

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und  ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$,  versehen mit der Maximumsnorm.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt  ${}x\in X$  ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

 

???: Satz von Stone-Weierstrass

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und  ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$  eine ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt.

Dann ist

${}{\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$

D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

 

???: Approximationssatz von Weierstrass (eine Variable)

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall und ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zu jedem  ${}\epsilon >0$  ein reelles Polynom ${}p$ mit

${}\vert {f(t)-p(t)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle  ${}t\in [a,b]$. 

Die Polynomalgebra ${}\mathbb {R} [t]$ ist dicht in ${}C([a,b],\mathbb {R} )$.

 

???: Struktur der ${}L^{2}$-Räume

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum.

Dann ist der Lebesgueraum ${}L^{2}(X)$ der quadratintegrierbaren Funktionen, versehen mit dem Skalarprodukt

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{X}f{\overline {g}}d\mu \,,$

ein Hilbertraum.

 

???: Minimale Norm in Hilbertraum

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei  ${}T\subseteq V$  eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.

Dann enthält ${}T$ einen eindeutigen Punkt  ${}P\in T$,  in dem die Norm ${}\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus ${}T$) das Minimum annimmt.

 

???: Orthogonale Zerlegung in Hilbertraum

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei  ${}U\subseteq V$  ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem  ${}v\in V$  eine eindeutige Darstellung

${}v=u+w\,$

mit  ${}u\in U$  und  ${}w\in U^{\perp }$. 

 

???: Darstellungslemma von Riesz

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor  ${}x\in V$  mit

${}\varphi (v)=\left\langle v,x\right\rangle \,$

für alle  ${}v\in V$. 

 

???: Dichtheitskriterium im Hilbertraum

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und  ${}T\subseteq V$  eine Teilmenge.

Dann erzeugt ${}T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in ${}V$, wenn die Eigenschaft

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

für alle  ${}w\in T$  nur für  ${}v=0$  gilt.

 

???: Koordinatendarstellung für die orthogonale Projektion

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$, sei ${}v_{i}$, ${}i\in E$, ein endliches Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum ${}U$.

Dann gilt für die orthogonale Projektion

${}p_{U}(v)=\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.$

 

???: Satz über die kleinsten Fehlerquadrate

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen,  ${}n\geq 2$,  und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Es sei  ${}{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$  und  ${}{\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}$. 

Dann ist die affin-lineare Funktion ${}ax+b$ mit

${}a={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\,$

und

${}b={\bar {y}}-a{\bar {x}}\,$

die optimale lineare Approximation für den Datensatz

${}f(x_{i})=y_{i}\,$

im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.

D.h. die Summe der Fehlerquadrate ${}\sum _{i=1}^{n}(ax_{i}+b-y_{i})^{2}$ wird für die angegebenen Koeffizienten ${}a$ und ${}b$ minimal.

 

???: Besselsche Abschätzung

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem.

Dann ist für jeden Vektor  ${}v\in V$  die Familie ${}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$, ${}i\in I$, summierbar und es gilt

${}\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

 

???: Charakterisierung von vollständigen Orthonormalsystemen

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist vollständig.
2. Für jedes  ${}v\in V$  gilt

   ${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.$

3. Für jedes  ${}v\in V$  gilt

   ${}\Vert {v}\Vert ^{2}=\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,.$

 

???: Ergänzung von einem Orthonormalsystem in einem Hilbertraum

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem in einem ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum ${}V$.

Dann kann man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen.

 

???: Vollständiges periodisches Orthonormalsystem

Es sei  ${}T>0$  und  ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$. 

Dann bildet die Familie

${}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}\,$

zu  ${}n\in \mathbb {Z}$  ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum ${}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

 

???: Konvergenz der Fouriereihe im stetigen Fall

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine periodische stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktion.

Dann konvergiert die Fourierreihe von ${}f$ gleichmäßig und insbesondere punktweise gegen ${}f$.

 

???: Fourierreihe der Sägezahnfunktion

Die Identität auf dem Einheitsintervall (die Sägezahnfunktion)

besitzt die Fourierreihe

${}t={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.$

 

???: Summe der Quadratkehrwerte

Es ist

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.$

 

???: Legendre-Polynome als Orthonormalsystem

Die Legendre-Polynome ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$,

bilden ein Orthogonalsystem in ${}L^{2}([-1,1])$. Die normierten (im Sinne der ${}L^{2}$-Norm) Legendre-Polynome ${}{\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ entstehen aus den Potenzen ${}t^{0},t^{1},t^{2}$ mit dem Orthonormalisierungsverfahren und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

 

???: Tschebyschow-Polynome und Kosinus

Für das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom gilt

${}T_{n}(\cos z)=\cos \left(nz\right)\,$

für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 

 

???: Minimales Betragsmaximum von Polynomen

Es sei ${}P$ ein reelles normiertes Polynom vom Grad ${}n$.

Dann ist

${}\operatorname {max} \left(\vert {P(t)}\vert {|}-1\leq t\leq 1\right)\geq {\frac {1}{2^{n-1}}}\,.$

 

???: Tschebyschow-Polynome als Orthogonalsystem

Die Tschebyschow-Polynome ${}T_{n}$

bilden ein Orthogonalsystem in ${}L^{2}[-1,1]$ bezüglich des Maßes mit der Dichte ${}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$.

Die Familie  ${}{\frac {T_{0}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$  und ${}{\frac {{\sqrt {2}}T_{n}}{\sqrt {\pi }}}$, ${}n\geq 1$, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

 

???:

Es sei ${}(M,\mu )$ ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum ${}M\times M$ und sei

$K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

ein beschränkter messbarer Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

$T_{K}\colon L^{2}(M)\longrightarrow L^{2}(M),\,f\longmapsto T_{K}(f),$

mit

${}(T_{K}(f))(u)=\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)\,$

eine stetiger linearer Operator.

 

???:

Es sei ${}M$ ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß ${}\mu$ auf ${}M$. Es sei

$K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

ein stetiger Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

$T_{K}\colon L^{2}(M)\longrightarrow L^{2}(M),\,f\longmapsto T_{K}(f),$

mit

${}(T_{K}(f))(u)=\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)\,$

ein kompakter Operator.

 

???:

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall,

$[a,b]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiger Integralkern mit  ${}\vert {K(s,t)}\vert \leq M$  und ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zur jeder reellen Zahl ${}\lambda$ mit  ${}\vert {\lambda }\vert <{\frac {1}{M(b-a)}}$  eine eindeutige Lösungsfunktion ${}x\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit

${}x(s)=\lambda \int _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt+g(s)\,.$

 

???:

Die Fourier-Transformation

$L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}$

ist linear.

 

???:

Für die Fourier-Transformation gelten die folgenden Rechenregeln.

1. Zu  ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$  und  ${}g({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}})e^{{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }$  ist

   ${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\hat {f}}({\mathfrak {u}}-v)\,.$

2. Zu  ${}g({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}}-v)$  ist

   ${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }\,$

3. Zu

   ${}g=f(c{\mathfrak {t}})\,$

   und reelles  ${}c\neq 0$  ist

   ${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}{\hat {f}}{\left({\frac {1}{c}}{\mathfrak {u}}\right)}\,$

 

???:

Für die Fourier-Transformation von  ${}f({\mathfrak {t}})=e^{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}$ 

gilt

${}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})=e^{\frac {{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}\,.$

D.h. die Dichte der Normalverteilung ist ein Fixpunkt für die Fourier-Transformation.

 

???: Faltungssatz

Es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ integrierbare Funktionen.

Dann gilt für die Fourier-Transformation der Faltung die Beziehung

${}{\widehat {f*g}}=(2\pi )^{n/2}\cdot {\hat {f}}\cdot {\hat {g}}\,.$

 

???:

Die Fourier-Transformation ${}{\hat {f}}$ einer integrierbaren Funktion

ist gleichmäßig stetig.

 

???: Fourier-Transformation und Ableitung

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion und sei  ${}(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$.  Für jedes Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit  ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})\leq (r_{1},\ldots ,r_{n})$  sei ${}{\mathfrak {t}}_{1}^{k_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{k_{n}}f$ integrierbar.

Dann ist die Fourier-Transformierte ${}{\hat {f}}$ von ${}f$ in Richtung ${}D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}$ partiell differenzierbar und es gilt

${}D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}{\left({\hat {f}}\right)}=(-{\mathrm {i} })^{r_{1}+\cdots +r_{n}}{\left({\mathfrak {t}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{r_{n}}f\right)}^{\hat {\,}}\,.$

 

???:

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

integrierbare Funktionen mit den Fourier-Transformierten ${}{\hat {f}}$ bzw. ${}{\hat {g}}$.

Dann gilt

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\hat {g}}d\lambda ^{n}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}gd\lambda ^{n}\,.$

 

???: Umkehrsatz für die Fourier-Transformation

Für eine stetige beschränkte Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$

gilt

${}{\hat {\hat {f}}}({\mathfrak {t}})=f(-{\mathfrak {t}})\,.$