???: Satz über die Abzählbarkeit von
Die Menge der
rationalen Zahlen
ist
abzählbar.
???: Satz über die Überabzählbarkeit von
Die Menge der
reellen Zahlen
ist nicht
abzählbar.
???: Dynkin-System und
-Algebra
???: Messbarkeitskriterium für Abbildungen
???: Borel-Mengen und Quader
Die Menge der
Borel-Mengen
im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader
erzeugten
-
Algebra
überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit
rationalen
Eckpunkten beschränken.
???: Messbarkeit stetiger Abbildungen
Es seien
und
topologische Räume,
die wir als
Messräume
mit den zugehörigen
-
Algebren
der
Borelmengen
auffassen.
Dann ist jede
stetige Abbildung
-
messbar.
???: Rechenregeln für Prämaße
Es sei eine Menge, ein
Präring
auf und ein
Prämaß
auf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für Mengen
mit
gilt
.
Insbesondere ist ein Prämaß
monoton.
- Für Mengen
gilt
.
- Seien
, ,
und aus mit
Dann gilt
-
- Es sei eine
Ausschöpfung
in . Dann ist
-
wobei diese Folge
monoton wachsend
ist.
- Es sei eine
Schrumpfung
in und sei
vorausgesetzt. Dann ist
-
wobei diese Folge
monoton fallend
ist.
???: Eindeutigkeitssatz für Maße
???: Fortsetzung von äußeren Maßen
???: Mengen mit Zerlegungseigenschaft zu äußerem Maß
???: Prämaß und Zerlegungseigenschaft
???: Fortsetzungssatz für Maße
???: Beschreibung des Produkt-Präringes
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen.
Dann besteht der
Produkt-Präring
aus allen endlichen
disjunkten Vereinigungen
von
Quadern.
???: Konstruktion des Produktprämaßes auf Quadern
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen und
Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche
disjunkte Vereinigung
-
von
Quadern
(wobei die Seiten endliches Maß haben)
durch
-
mit
definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
- Es seien
(insbesondere sei dies definiert).
Dann ist die Zuordnung ein
Prämaß
auf dem
Produkt-Präring.
???: Produktsatz für Maße
Es seien
-
endliche
Maßräume
gegeben.
Dann gibt es genau ein
(-endliches)
Maß auf der
Produkt--
Algebra
, das für alle messbaren Quader
(deren Seiten endliches Maß besitzen)
den Wert
-
besitzt.
???: Das Borel-Lebesgue-Maß auf
???: Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes
Der sei mit der
-
Algebra
der
Borel-Mengen
versehen.
Dann gibt es auf genau ein
(-
endliches)
Maß
-
das für alle Quader
-
den Wert
-
besitzt.
Die Aussage gilt auch für
(achsenparallele)
Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
???: Maß auf Untervektorräumen
???: Translationsinvariante Maße auf dem
.
Das
Borel-Lebesgue-Maß
ist das einzige
translationsinvariante Maß
auf , das auf dem Einheitswürfel den Wert besitzt.
???: Translationsinvariante Maße
???: Die lineare Transformationsformel
Es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann gilt für jede
messbare Menge
die Beziehung
-
???: Isometrie und Maßtreue
Eine
lineare Isometrie
-
ist
volumentreu.
???: Kanonisches Maß auf euklidischem Vektorraum
???: Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt
Es sei ein
euklidischer Vektorraum, sei eine
Basis
von und sei das davon
erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das
Borel-Lebesgue-Maß
auf
-
???: Supremum von messbaren Funktionen
???: Grenzfunktion von messbaren Funktionen
Es sei ein
Messraum und sei
-
eine
Folge
von
messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine
Grenzfunktion
konvergiere.
Dann ist auch messbar.
???: Einfache Funktionen und messbare Funktion
Es sei ein
Messraum und sei
-
eine
messbare numerische
nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine
wachsende Folge
von
nichtnegativen
einfachen Funktionen
-
die punktweise gegen
konvergieren.
???: Subgraph einer messbaren Funktion
???: Charakterisierung von integrierbaren Funktionen
???: Graph einer messbaren Funktion
???: Tschebyschow-Abschätzung
???: Allgemeine Transformationsformel
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum, ein
Messraum
und
-
eine
messbare Abbildung.
Es sei das
Bildmaß
von unter , das ebenfalls als
-
endlich
vorausgesetzt sei, und es sei
-
eine
-
integrierbare Funktion.
Dann ist auch
-
integrierbar,
und es gilt
-
???: Satz von der monotonen Konvergenz
???: Riemann-integrierbare Funktionen und Maßtheorie
Es sei
-
eine
messbare
Riemann-integrierbare
Funktion.
Dann gilt
-
???: Linearität des Integrals
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum. Es seien
integrierbare
messbare
reellwertige
Funktionen
auf und
.
Dann ist auch integrierbar, und es gilt
-
???: Lemma von Fatou
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und es sei
-
eine
Folge
von nichtnegativen
messbaren
numerischen Funktionen.
Dann gilt
-
???: Der Satz von der majorisierten Konvergenz
???: Stetige Abhängigkeit des Integrals
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum, ein
metrischer Raum,
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion messbar.
- Für alle
ist die Funktion
stetig
in .
- Es gibt eine
nichtnegative messbare integrierbare Funktion
-
mit
-
für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
wohldefiniert und stetig in .
???: Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum, ein nichtleeres
offenes Intervall
und
-
eine
Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle
ist die Funktion integrierbar.
- Für alle
ist die Funktion
(stetig)
differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
-
mit
-
für alle
und alle
.
Dann ist die Funktion
-
(stetig)
differenzierbar
in , die Zuordnung ist
integrierbar
und es gilt die Formel
-
???: Querschnittslemma
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
eine
messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
-
und -
messbar.
???: Das Cavalieri-Prinzip (Integrationsversion)
Es seien
und
-
endliche Maßräume.
Dann gilt für alle
messbaren Teilmengen
die Beziehung
-
???: Cavalieri-Prinzip (Verschiebungsversion)
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und
-
eine
messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
-
bijektiv
und
maßtreu.
???: Volumen eines Rotationskörpers
Es sei
-
eine
nichtnegative
messbare Funktion
und sei
der
Rotationskörper
zum
Subgraphen
von um die -Achse.
Dann besitzt das Volumen
-
wobei für die zweite Formel als
stetig
vorausgesetzt sei.
???: Der Satz von Fubini
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
-
und
-
fast überall
reellwertig und fast überall
integrierbar,
und es gilt
-
???: Integration des Produkts von zwei Funktionen über dem Produktraum
Es seien
und
-
endliche Maßräume und es seien
und
integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
-
integrierbar und es gilt
-
???: Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen
Es sei
offen und sei
-
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine
Nullmenge.
Dann ist auch eine Nullmenge.
???: Die Transformationsformel
???: Die Transformationsformel für Integrale
???: Transformationsformel für Polarkoordinaten
Es sei
-
die
Polarkoordinatenauswertung
und es seien
und
offene Mengen,
auf denen einen
Diffeomorphismus
induziert. Es sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann ist
-
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel
-
???: Fehlerintegral
Es ist
-
???: Stetigkeit linearer Abbildungen
???: Höldersche Ungleichung
Es seien
reelle Zahlen
mit
-
und es sei ein
Maßraum.
Es seien
-
messbare Funktionen,
die - bzw. -integrierbar seien.
Dann gilt
-
???: Minkowski-Ungleichung
???: Vollständigkeitssatz von Fischer-Riesz
???: Der Satz von Heine-Borel
???: Bild eines kompakten Raumes
???: Maximum auf kompakten Mengen
Es sei ein nichtleerer
kompakter
topologischer Raum
und sei
-
eine
stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
-
D.h., dass die Funktion ihr
Maximum
(und ihr Minimum)
annimmt.
???: Kompaktheit und Vollständigkeit
Ein
kompakter
metrischer Raum
ist
vollständig.
???: Charakterisierung von kompaktem metrischen Raum
???: Satz von Arzelà-Ascoli
???: Satz von Stone-Weierstrass
???: Approximationssatz von Weierstrass (eine Variable)
Es sei ein
abgeschlossenes Intervall
und
eine
stetige Funktion.
Dann gibt es zu jedem
ein
reelles Polynom
mit
-
für alle
.
Die Polynomalgebra ist
dicht
in .
???: Struktur der
-Räume
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum.
Dann ist der
Lebesgueraum
der
quadratintegrierbaren
Funktionen, versehen mit dem
Skalarprodukt
-
ein
Hilbertraum.
???: Minimale Norm in Hilbertraum
???: Orthogonale Zerlegung in Hilbertraum
???: Darstellungslemma von Riesz
Es sei ein
-
Hilbertraum
und sei
-
eine
stetige
Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
mit
-
für alle
.
???: Dichtheitskriterium im Hilbertraum
???: Koordinatendarstellung für die orthogonale Projektion
???: Satz über die kleinsten Fehlerquadrate
Es seien verschiedene reelle Zahlen,
,
und reelle Zahlen. Es sei
und
.
Dann ist die
affin-lineare Funktion
mit
-
und
-
die optimale lineare Approximation für den Datensatz
-
im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.
D.h. die Summe der Fehlerquadrate wird für die angegebenen Koeffizienten
und
minimal.
???: Besselsche Abschätzung
Es sei ein
-
Vektorraum
mit einem
Skalarprodukt
und sei
, ,
ein
Orthonormalsystem.
Dann ist für jeden Vektor
die Familie
, ,
summierbar
und es gilt
-
???: Charakterisierung von vollständigen Orthonormalsystemen
Es sei ein
-
Vektorraum
mit einem
Skalarprodukt
und sei
, ,
ein
Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist
vollständig.
- Für jedes
gilt
-
- Für jedes
gilt
-
???: Ergänzung von einem Orthonormalsystem in einem Hilbertraum
???: Vollständiges periodisches Orthonormalsystem
???: Konvergenz der Fouriereihe im stetigen Fall
Es sei
eine
periodische
stetige
und stückweise
stetig differenzierbare
Funktion.
Dann konvergiert die
Fourierreihe
von
gleichmäßig
und insbesondere
punktweise
gegen .
???: Fourierreihe der Sägezahnfunktion
Die Identität auf dem Einheitsintervall
(die Sägezahnfunktion)
besitzt die
Fourierreihe
-
???: Summe der Quadratkehrwerte
Es ist
-
???: Legendre-Polynome als Orthonormalsystem
???: Tschebyschow-Polynome und Kosinus
Für das -te
Tschebyschow-Polynom
gilt
-
für alle
.
???: Minimales Betragsmaximum von Polynomen
Es sei ein reelles
normiertes Polynom
vom Grad .
Dann ist
-
???: Tschebyschow-Polynome als Orthogonalsystem
???:
Es sei ein
endlicher
Maßraum
mit dem Produktraum und sei
-
ein
beschränkter
messbarer Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
-
mit
-
eine
stetiger
linearer Operator.
???:
Es sei ein
kompakter
metrischer Raum
mit einem
endlichen
Maß
auf . Es sei
-
ein
stetiger
Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
-
mit
-
ein
kompakter Operator.
???:
Es sei ein
kompaktes Intervall,
-
ein stetiger Integralkern mit
und
eine stetige Funktion.
Dann gibt es zur jeder reellen Zahl mit
eine eindeutige Lösungsfunktion
mit
-
???:
Die
Fourier-Transformation
-
ist linear.
???:
Für die
Fourier-Transformation
von
gilt
-
D.h. die Dichte der
Normalverteilung
ist ein
Fixpunkt
für die Fourier-Transformation.
???: Faltungssatz
Es seien
integrierbare Funktionen.
Dann gilt für die
Fourier-Transformation
der
Faltung
die Beziehung
-
???:
Die
Fourier-Transformation
einer
integrierbaren Funktion
ist
gleichmäßig stetig.
???: Fourier-Transformation und Ableitung
Es sei
eine Funktion und sei
. Für jedes Tupel mit
sei
integrierbar.
Dann ist die
Fourier-Transformierte
von in Richtung
partiell differenzierbar
und es gilt
-
???:
Es seien
-
integrierbare Funktionen
mit den
Fourier-Transformierten
bzw. .
Dann gilt
-
???: Umkehrsatz für die Fourier-Transformation
Für eine
stetige
beschränkte
Funktion
gilt
-