Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es seien
und
zwei Mengen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
ist leer oder es gibt eine surjektive Abbildung
-
- Es gibt eine
injektive Abbildung
-
Eine Menge ist genau dann
abzählbar unendlich, wenn es eine
Bijektion zwischen
und
gibt.
Seien
und
abzählbare Mengen.
Dann ist auch die
Produktmenge
abzählbar.
Insbesondere ist das Produkt abzählbar.
Es sei eine
abzählbare
Indexmenge
und zu jedem
sei
eine abzählbare Menge.
Dann ist auch die
(disjunkte)
Vereinigung
abzählbar.
Die Menge der ganzen Zahlen
ist abzählbar.
Die Menge der rationalen Zahlen
ist abzählbar.
Die Menge der
reellen Zahlen
ist nicht abzählbar.
Es sei eine Menge und
ihre
Potenzmenge.
Dann besitzt eine größere
Mächtigkeit
als
.
Es sei eine Menge und sei
,
,
eine beliebige Familie von
-
Algebren
auf
.
Dann ist auch der Durchschnitt
eine -Algebra auf
.
Es sei eine Menge. Für ein
Mengensystem
auf
sind äquivalent.
ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
ist eine
-Algebra.
Es sei eine Menge und
ein
durchschnittsstabiles Mengensystem
auf
.
Dann stimmt das von
erzeugte Dynkin-System
mit der von
erzeugten
-
Algebra
überein.
Es seien
und
zwei
Messräume
und es sei
eine
Abbildung.
Es sei ein
Erzeugendensystem
für
.
Dann ist bereits dann
messbar,
wenn für jede Teilmenge
mit
das
Urbild
zu
gehört.
Die Menge der
Borel-Mengen
im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader
erzeugten
-
Algebra
überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
Es seien
und
topologische Räume,
die wir als
Messräume
mit den zugehörigen
-
Algebren
der
Borelmengen
auffassen.
Dann ist jede stetige Abbildung
messbar.
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
und
ein
Prämaß
auf
.
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für Mengen
mit
gilt
. Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
- Für Mengen
gilt
.
- Seien
,
, und
aus
mit
Dann gilt
-
- Es sei
eine Ausschöpfung in
. Dann ist
wobei diese Folge monoton wachsend ist.
-
- Es sei
eine Schrumpfung in
und sei
vorausgesetzt. Dann ist
wobei diese Folge monoton fallend ist.
-
Es sei ein
Messraum
und es sei
ein
durchschnittsstabiles Erzeugendensystem
für
.
Es seien
und
zwei
Maße
auf
, die auf
übereinstimmen. Es gebe eine
Ausschöpfung
mit
und mit
Dann ist
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
und
ein
äußeres Maß
auf .
Dann ist die
Fortsetzung
des
äußeren Maßes
ein
äußeres Maß
auf der
Potenzmenge
, das auf
mit
übereinstimmt.
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
,
ein
äußeres Maß
auf und
die
Fortsetzung
von
auf die
Potenzmenge
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das
Mengensystem
aller Teilmengen
, die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine
- Algebra.
- Die Einschränkung von
auf diese
-Algebra ist ein Maß.
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
,
ein
Prämaß
auf und
die
Fortsetzung
von
auf die
Potenzmenge
.
Dann besitzen alle Mengen aus die
Zerlegungseigenschaft.
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
,
ein
Prämaß
auf und
die
Fortsetzung
von
auf die von
erzeugte
-
Algebra
.
Dann ist ein
Maß
auf
.
Wenn
-
endlich
ist, so ist
die einzige Fortsetzung von
zu einem Maß auf
.
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen.
Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen und
Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche
disjunkte Vereinigung
von Quadern
(wobei die Seiten endliches Maß haben) durch
mit
definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
-
- Es seien
(insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung
ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.
Es seien
-
endliche
Maßräume
gegeben.
Dann gibt es genau ein
(-endliches)
Maß
auf der
Produkt-
-
Algebra
, das für alle messbaren Quader
(deren Seiten endliches Maß besitzen)
den Wert
besitzt.
Es sei
die
-
Algebra
der
Borel-Mengen
auf
.
Dann gibt es genau ein
(-
endliches)
Maß
auf
, das für jedes
halboffene Intervall
den Wert
besitzt.
Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.
Der sei mit der
-
Algebra
der
Borel-Mengen
versehen.
Dann gibt es auf genau ein
(
-
endliches)
Maß
das für alle Quader
den Wert
besitzt.
Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
Das
Borel-Lebesgue-Maß
ist das einzige
translationsinvariante Maß
auf , das auf dem Einheitswürfel den Wert
besitzt.
Es sei ein
translationsinvariantes Maß
auf dem
, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei
ein echter
Untervektorraum.
Dann ist
.
Es sei ein
translationsinvariantes Maß
auf
, das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl
mit
.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann gilt für jede
messbare Menge
die Beziehung
Es sei ein
euklidischer Vektorraum.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes
translationsinvariantes Maß
auf den
Borelmengen
von
, das jedem von einer
Orthonormalbasis
aufgespannten Parallelotop
den Wert
zuweist.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum, sei
eine
Basis
von
und sei
das davon
erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das
Borel-Lebesgue-Maß
auf
Es sei eine
abzählbare Indexmenge und
ein
Messraum. Es sei
() eine
Familie von
messbaren numerischen Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen und
messbar.
Es sei ein
Messraum und sei
eine
Folge
von
messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine
Grenzfunktion
konvergiere.
Dann ist auch messbar.
Es sei ein
Messraum und sei
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen
die punktweise gegen
konvergieren.
Es sei ein Messraum und
eine messbare Funktion.
Dann sind der
Graph
und der
Subgraph
messbare Teilmengen
in
.
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum
und
eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
ist integrierbar.
- Der
positive
und der
negative Teil von
sind integrierbar.
- Die Betragsfunktion
ist integrierbar.
- Es gibt eine integrierbare messbare Funktion
mit
für alle
.
-
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum
und
eine messbare numerische Funktion.
Dann ist der
Graph
eine
Nullmenge
in
.
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gilt für jedes
die Abschätzung
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum,
ein
Messraum
und
eine
messbare Abbildung.
Es sei das
Bildmaß
von
unter
, das ebenfalls als
-
endlich
vorausgesetzt sei, und es sei
eine
-
integrierbare Funktion.
Dann ist auch
-
integrierbar,
und es gilt
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und sei
eine
wachsende
Folge
von nichtnegativen
messbaren
numerischen Funktionen
mit der
Grenzfunktion
.
Dann gilt
Es sei
eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.
Dann gilt
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum. Es seien
integrierbare
messbare
reellwertige
Funktionen
auf
und
.
Dann ist auch integrierbar, und es gilt
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und es sei
eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.
Dann gilt
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und es sei
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
mit
für alle
und alle
.
Dann ist auch die
Grenzfunktion
integrierbar, und es gilt
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum,
ein
metrischer Raum,
und
eine Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.- Für alle
ist die Funktion
messbar.
- Für alle
ist die Funktion
stetig in
.
- Es gibt eine
nichtnegative messbare integrierbare Funktion
mit
für alle
und alle
.
-
Dann ist die Funktion
wohldefiniert und stetig in .
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum,
ein nichtleeres
offenes Intervall
und
eine Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.- Für alle
ist die Funktion
integrierbar.
- Für alle
ist die Funktion
(stetig) differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
mit
für alle
und alle
.
-
Dann ist die Funktion
(stetig)
differenzierbar
in , die Zuordnung
ist
integrierbar
und es gilt die Formel
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
eine
messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
messbar.
Es seien
und
-
endliche Maßräume.
Dann gilt für alle
messbaren Teilmengen
die Beziehung
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und
eine messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
bijektiv und maßtreu.
Es sei
eine
nichtnegative
messbare Funktion
und sei
der
Rotationskörper
zum
Subgraphen
von
um die
-Achse.
Dann besitzt das Volumen
wobei für die zweite Formel als
stetig
vorausgesetzt sei.
Es sei
messbar,
ein Punkt und
der zugehörige
Kegel.
Es sei
die letzte Koordinate von
.
Dann ist ebenfalls messbar, und es gilt
Es seien
und
-
endliche Maßräume und sei
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
und
fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
Es seien
und
-
endliche Maßräume und es seien
und
integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
integrierbar und es gilt
Es sei
offen und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine
Nullmenge.
Dann ist auch eine Nullmenge.
Es seien
und
offene Mengen
im
und es sei
ein -Diffeomorphismus
mit der
Jacobi-Determinante
für
.
Es sei
eine
messbare Menge.
Dann ist ebenfalls
messbar
und es gilt
Es seien
und
offene Mengen
im
und es sei
ein
-
Diffeomorphismus
mit der
Jacobi-Determinante
für
.
Es sei
eine messbare Funktion.
Dann ist auf
genau dann
integrierbar,
wenn die
Hintereinanderschaltung
auf
integrierbar ist. In diesem Fall gilt
Es sei
die
Polarkoordinatenauswertung
und es seien
und
offene Mengen,
auf denen
einen
Diffeomorphismus
induziert. Es sei
eine integrierbare Funktion.
Dann ist
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel
Es ist
Es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
die
Faser
über
,
und
sei in jedem Punkt der Faser
regulär.
Dann gibt es zu jedem Punkt
eine offene Umgebung
,
offene Mengen
und
,
und einen
-
Diffeomorphismus
mit
,
der eine Bijektion zwischen
und
induziert, und so, dass das
totale Differential
für jedes
eine Bijektion zwischen
und
stiftet.
Es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
die
Faser
über einem Punkt
. Das
totale Differential
sei
surjektiv
für jeden Punkt
.
Dann ist eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
der
Dimension
.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
,
und es sei
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
und
offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential
.
- Wenn
mit
und
und
mit
und
Karten sind, so ist das Diagramm
kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen
bzw.
gegeben sind.
-
ist
- linear.
- Wenn
eine weitere Mannigfaltigkeit,
und
eine weitere differenzierbare Abbildung mit
ist, so gilt
-
- Wenn
ein Diffeomorphismus ist, dann ist
ein Isomorphismus.
- Für eine
differenzierbare Kurve
mit einem offenen Intervall
,
und
gilt im Tangentialraum
die Gleichheit
-
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit der
Dimension
und
eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
der Dimension
von
.
Dann ist eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
derart, dass die Inklusion
eine differenzierbare Abbildung ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
der
Dimension
und es sei
eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
der Dimension
.
Dann ist für jeden Punkt
die
Tangentialabbildung
injektiv.
D.h. der Tangentialraum ist ein
Untervektorraum
der Dimension
von
.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine differenzierbare Abbildung. Es sei
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es gibt ein
kommutatives Diagramm
-
- Für eine Karte
zu
offen und mit
offen gibt es ein kommutatives Diagramm
-
- Wenn
und
offene Teilmengen sind und die Tangentialbündel mit
bzw.
identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich
-
- Wenn
eine weitere Mannigfaltigkeit und
eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt
-
- Die Tangentialabbildung
ist stetig.
- Wenn
ein Diffeomorphismus ist, so ist
ein Homöomorphismus.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und
ihr
Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Projektionen
und
sind differenzierbare Abbildungen.
-
- Der
Tangentialraum
in einem Punkt
ist
.
- Es sei
eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen
und
differenzierbar sind.
-
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Vektoren in
, die miteinander in der Beziehung
stehen, wobei eine
-
Matrix
bezeichnet.
Dann gilt in die Beziehung
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
.
Es sei
eine
alternierende
multilineare Abbildung
in einen weiteren -Vektorraum
.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass das Diagramm
kommutiert.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum der Dimension
. Es sei
eine
Basis
von
und es sei
.
Dann bilden die Dachprodukte
eine Basis von .
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum der Dimension
.
Dann besitzt das -te
äußere Produkt
die
Dimension
Es sei ein
Körper und
ein
dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
mit
(mit
und
).
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung.
Dann gibt es zu jedem
eine
-lineare Abbildung
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung. Zu
sei
die zugehörige -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Wenn
surjektiv ist, dann ist auch
surjektiv.
- Wenn
injektiv ist, dann ist auch
injektiv.
- Wenn
ein weiterer
-Vektorraum und
eine weitere
-lineare Abbildung ist, so gilt
-
Es sei
ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
der
Dimension
.
Dann entsprechen durch die Zuordnung
die
Orientierungen
auf den Orientierungen auf
.
Es sei
eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist überdeckungskompakt.
- Jede
Folge
in
besitzt einen Häufungspunkt in
.
- Jede
Folge
in
besitzt eine in
konvergente Teilfolge.
ist abgeschlossen und beschränkt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
offene Teilmenge
mit einer Karte
und
offen. Es seien
die zugehörigen Koordinatenfunktionen,
.
Dann lässt sich jede auf definierte
-Differentialform
eindeutig schreiben als
mit eindeutig bestimmten Funktionen
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
offene Teilmenge
mit einer Karte
und
offen. Es seien
die zugehörigen Koordinatenfunktionen,
.
Es sei
eine differenzierbare Funktion.
Dann gilt für die zugehörige
-
Differentialform
die Darstellung
Es seien
und
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit
bzw. mit
bezeichnet seien. Es sei
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei eine
-
Differentialform
auf
mit der Darstellung
wobei
Funktionen
sind.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Es seien
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit
bzw. mit
bezeichnet seien. Es sei
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei eine
-
Differentialform
auf
mit der Darstellung
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Es sei eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit
abzählbarer Basis der Topologie
und es sei
eine
positive Volumenform
auf
. Zu einer Karte
mit
und einer
messbaren Teilmenge
setzen wir
- Wenn
zwei Kartenumgebungen sind, so ist
.
- Zu einer messbaren Teilmenge
gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung
derart, dass jedes
ganz in einer Karte
liegt.
- Die Summe
ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).
Es sei
offen und sei
(mit
)
eine
stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der
Faser
über
regulär
sei.
Dann ist die Abbildung
in jedem Punkt
eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf
gegeben ist.
Es sei eine
orientierte
riemannsche Mannigfaltigkeit
und
die
kanonische Volumenform.
Es sei
eine
orientierte Karte
mit
offen mit Koordinaten
mit der
metrischen Fundamentalmatrix
und
.
Dann ist
Für eine
messbare Teilmenge
ist
Es sei
offen
und sei
eine
-
dimensionale
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit,
die
orientiert
und mit der induzierten riemannschen Struktur und der
kanonischen Volumenform
versehen sei. Es sei
offen und es sei
ein
Diffeomorphismus
mit der offenen Menge
.
Dann ist eine Karte von
, und auf
gilt
Es sei
eine
abgeschlossene Fläche
in einer
offenen Menge
,
die mit der induzierten riemannschen Struktur und der
kanonischen Flächenform
versehen sei. Es sei
offen und es sei
ein
Diffeomorphismus
mit der offenen Menge
.
Die Koordinaten von
seien
und
und wir setzen
Dann gilt auf
Es sei
eine
differenzierbare Kurve
mit
, die einen
Diffeomorphismus
zu
induziere, wobei
eine eindimensionale
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
in einer offenen Menge
sei.
Dann ist die zugehörige
Rotationsfläche
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die
-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit,
und es sei
die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die äußere Ableitung
ist die Tangentialabbildung.
-
- Die äußere Ableitung ist
- linear.
- Für
und
gilt die Produktregel
-
- Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform
ist
.
- Es sei
eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung
und jedes
gilt für die zurückgezogenen Differentialformen
-
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension
.
Dann ist der Rand eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
(ohne Rand) der Dimension
.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine
Orientierung trage.
Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.
Es sei eine
Mannigfaltigkeit mit einer
abzählbaren Basis der Topologie.
Dann besitzt eine
kompakte Ausschöpfung.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis
der Topologie.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis der Topologie.
Dann existiert genau dann eine
stetige
nullstellenfreie
Volumenform
auf , wenn
orientierbar
ist.
Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
Es sei
ein achsenparalleler
-dimensionaler Quader
(mit Seiten aber ohne Kanten)
mit dem
Rand
und
eine auf
definierte
stetig-differenzierbare
-
Differentialform.
Dann ist
Es sei eine
-
dimensionale
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie,
und es sei
eine
stetig differenzierbare
-
Differentialform
mit
kompaktem
Träger auf
.
Dann ist
Es sei
eine
kompakte
Mannigfaltigkeit mit Rand
.
Dann ist der Flächeninhalt von gleich
Es sei eine
kompakte
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie.
Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung
deren
Einschränkung
auf die Identität ist.
Es sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung
der
abgeschlossenen Kugel
im in sich.
Dann besitzt einen
Fixpunkt.