Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe Zahlen

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Definiton

Die Gleichung $x^{2}=-1$ hat keine Lösung in den reellen Zahlen. Wird die imaginäre Einheit $\mathrm {i}$ mit der Eigenschaft $\mathrm {i} ^{2}=-1$ eingeführt, können die Zahlen $x+\mathrm {i} y$ mit reellen $x$ und $y$ betrachtet werden. Sie bilden die komplexen Zahlen

$\mathbb {C} =\{x+\mathrm {i} y|x,y\in \mathbb {R} ,\mathrm {i} ^{2}=-1\}$

Regeln

Mit komplexen Zahlen lässt sich unter der Berücksichtigung von $\mathrm {i} ^{2}=-1$ genau so rechnen, wie mit reellen Zahlen. Die imaginäre Einheit :$\mathrm {i}$ kann dabei wie eine Variable behandelt werden. Es ergeben sich dadurch die folgenden Regeln

Addition und Subtraktion

$z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+\mathrm {i} (y_{1}\pm y_{2})$

Multiplikation

$z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+\mathrm {i} (x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$

Komplexe Konjugation

$z^{*}=x-\mathrm {i} y$

Real- und Imaginärteil

$\operatorname {Re} (z)=x={\frac {1}{2}}(z+z^{*})$

$\operatorname {Im} (z)=y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-z^{*})$

Betrag

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {zz^{*}}}$

Division

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}z_{2}^{*}}{|z_{2}|^{2}}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$

Euler-Formel

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }=\operatorname {cos} (\phi )+\mathrm {i} \operatorname {sin} (\phi )$

Polar-Darstellung

$z=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }$

Siehe auch

• Komplexe Zahl
• Maxima CAS/Komplexe Zahlen
• Komplexe Zahlen in Wikipedia