Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe Zahlen

Vorherige Seite: Folgen

Definiton

Die Gleichung $x^2=-1$ hat keine Lösung in den reellen Zahlen. Wird die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ mit der Eigenschaft ${\mathrm{i}}^2=-1$ eingeführt, können die Zahlen $x+\mathrm{i}y$ mit reellen $x$ und $y$ betrachtet werden. Sie bilden die komplexen Zahlen

$ℂ=\{x+\mathrm{i}y|x,y\in ℝ,{\mathrm{i}}^2=-1\}$

Regeln

Mit komplexen Zahlen lässt sich unter der Berücksichtigung von ${\mathrm{i}}^2=-1$ genau so rechnen, wie mit reellen Zahlen. Die imaginäre Einheit :$\mathrm{i}$ kann dabei wie eine Variable behandelt werden. Es ergeben sich dadurch die folgenden Regeln

Addition und Subtraktion

$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+\mathrm{i}(y_1\pm y_2)$

Multiplikation

$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+\mathrm{i}(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

Komplexe Konjugation

$z^{\ast }=x-\mathrm{i}y$

Real- und Imaginärteil

$\mathrm{Re}(z)=x=\frac{1}{2}(z+z^{\ast })$

$\mathrm{Im}(z)=y=\frac{1}{2\mathrm{i}}(z-z^{\ast })$

Betrag

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z{z}^{\ast }}$

Division

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{z}_2^{\ast }}{|z_2{|}^2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+\mathrm{i}\frac{x_2{y}_1+x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}$

Euler-Formel

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }=\cos (\varphi )+\mathrm{i}\sin (\varphi )$

Polar-Darstellung

$z=r\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }$

Siehe auch

• Komplexe Zahl
• Maxima CAS/Komplexe Zahlen
• Komplexe Zahlen in Wikipedia