Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}
}{Die \stichwort {geometrische Reihe} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das Induktionsprinzip für Aussagen.}{Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.}{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^n
}
{ \geq} { n^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (0.5+1+0.5)}
{
a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = \ln \left( \sqrt{1+x^2} \right) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+1 } {.} Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind \zusatzklammer {die also durch den Nullpunkt verlaufen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { \sqrt[3]{x^2}
} {.}
Bestimme die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in denen $f$ differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {4 \sin^{ 2 } t \cdot \cos t -5t^{11}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden Untervektorräume
\mathdisp {U= { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }} { }
und
\mathdisp {V = { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }} { }
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} der Funktion \maabbele {} {\R} { \R } {x} { \pi x } {.}
}
{} {}