Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/10/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Durchschnitt} {} von Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Der \stichwort {Realteil} {} einer komplexen Zahl $z$.
}{Eine \stichwort {beschränkte} {} Teilmenge von reellen Zahlen.
}{Der \stichwort {Tangens} {.}
}{Das \stichwort {Unterintegral} {} einer nach unten beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} { V } { W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.}{Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 \zusatzklammer {erster Ferientag} {} {} und endeten am 6.1.2016 \zusatzklammer {letzter Ferientag} {} {.} Wie lange dauerten die Ferien?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \zusatzklammer {beginnend bei $1$} {} {} stets eine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+1+2+1+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Folge konstant.
(c) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ < }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ < }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist $a$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Fridolin sagt:
\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} { x } { { \frac{ 1 }{ x } }
} {,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} }{}
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung $f'$ einen Schnittpunkt mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Geraden besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f_1,f_2} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {periodische Funktionen}{}{}
mit den Periodenlängen
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {.}
Der Quotient
\mathl{L_1/L_2}{} sei eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{f_1+f_2}{} eine periodische Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{.} } {Welche davon sind zu sich selbst invers? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $M$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit Vielfachheiten von $M$ über $\R$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
von $M$ über $\R$.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Anhang}
Eine Stammfunktion von
\mathl{\sqrt{u^2-1}}{} ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{ u^2 -1 } \cdot u - \, \operatorname{arcosh} \, u \, \right) }} { . }