Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit} {} einer
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt \anfuehrung{Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren}{.} Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt \anfuehrung{Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen}{.} Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt \anfuehrung{Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen}{.} \aufzaehlungzwei {Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt? } {Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne die Summe
\mathdisp {\sum_{n= 3}^ \infty { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-3x +1
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es seien die beiden Polynome
\mathdisp {P=X^2+3X-5 \text{ und } Q= X^2-4X+7} { }
gegeben.
a) Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
b) Berechne die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem $x \in \R$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(x,f(x))} {und} {(x+1,f(x+1))} {}
einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den wir mit
\mathl{s(x)}{} bezeichnen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1)
}
{ =} {s(x) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Skizziere die Situation.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\maabbdisp {g_1,g_2 , \ldots , g_n} {\R} {\R \setminus \{0\}
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }^\prime
}
{ =} { { \frac{ - 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die Funktion
\mathl{f(x)=x+ \sin x}{} streng wachsend ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad $\leq 2$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ e^{x^3}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{ \sqrt{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {} und seien
\mathl{U,V \subseteq W}{} Untervektorräume der Dimension
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) } =r}{} und
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } =s}{.} Es gelte
\mathl{r+s >n}{.} Zeige, dass
\mathl{U\cap V \neq 0}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 4 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
+2 w & = & 3 \\ x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, - w & = & 1 \\ - x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, - z &
+3 w & = & 2 \\ 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+3 z &
-2 w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Zu zwei quadratischen
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{M,N}{} gilt für die
\definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N }
}
{ =} { \chi_{ M } \chi_{ N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Definition ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N }
}
{ =} { \det \left( XE_n - M \circ N \right)
}
{ =} { \det \left( XE_n - M \right) \det \left( XE_n - N \right)
}
{ =} { \chi_{ M } \cdot \chi_{ N }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}