Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/15/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 10 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.
}{Die \stichwort {reelle Exponentialfunktion} {.}
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {stetig differenzierbare} {} Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz von Euklid} {} über Primzahlen.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Differentialrechnung} {.}}{Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{
Folgende Aussagen seien bekannt. \aufzaehlungsieben{Der frühe Vogel fängt den Wurm. }{Doro wird nicht von Lilly gefangen. }{Lilly ist ein Vogel oder ein Igel. }{Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät. }{Doro ist ein Wurm. }{Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh. }{Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs. } Beantworte folgende Fragen. \aufzaehlungdrei{Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel? }{Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier? }{Fängt der späte Igel den Wurm? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien zwei rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl $n$ die rationale Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n
}
{ \defeq} { { \frac{ x+ny }{ 1+n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
echt zwischen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen $z_n$ zueinander?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine reelle Nullfolge und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+4+5)}
{
Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \sqrt{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_{\geq 0}$.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Wertetabelle für $f$ für die Stellen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0,1,4,9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme das Polynom
\mathl{p(x)}{} kleinsten Grades, das mit $f$ an den Stellen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0,1,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt.
}{Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu $f$ und zu $p$ und die Intervalle, für die $f$ oberhalb bzw. unterhalb von $p$ verläuft.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+1+3+2)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.
b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die inverse Matrix zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & x \\ x^2 & { \frac{ x+1 }{ x^2 } } \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
$\R(X)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}