Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/16/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Eine \stichwort {Folge} {} reeller Zahlen.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {Integralfunktion} {}
zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} von Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Majorantenkriterium} {} für eine Reihe von reellen Zahlen.}{Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.}{Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Kein Mensch ist illegal}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ \neq} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis
\zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {}
in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.
a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der
\definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
$\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.
b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?
c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?
d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(-x^2+x-1)^3} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.}
} {Konvergiert die Folge in $\Q$?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 1 }{ 6 } } \sqrt[3]{2} + { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( \sqrt[3]{2} \right) }^2 \right) } \cdot { \left( - { \frac{ 2 }{ 5 } } +7 \sqrt[3]{2 }+ { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \sqrt[3]{2} \right) }^2 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ >} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {]-1,1[ } {\R } {x} {f(x) = 1- \sqrt{1-x^2} } {.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit der Eigenschaft, dass die Funktion
\mathl{x \mapsto f { \left( \betrag { x } \right) }}{} differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x \cdot \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x \cdot \cos x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \Q^n}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass $U$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn $M$ einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.
}
{} {}