Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/18/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Gaußklammer} {} einer reellen Zahl $x$.
}{Eine \stichwort {streng fallende} {} Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von reellen Zahlen $a_k$.
}{Die \stichwort {höheren Ableitungen} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {rekursive Definition} {} {.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Summenregel} {} für reelle Folgen.}{Die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation \zusatzklammer {genaue Formulierung mit Basen} {} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat $100$ Euro in Scheinen ab. \aufzaehlungvier{Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann? }{Ist es möglich, dass er $17$ Scheine bekommt? }{Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich? }{Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Die Zahlen
\mathdisp {n,n-1,n-2 , \ldots , 3,2,1} { }
werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei $n$ kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für positive reelle Zahlen $a,b$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \betrag { a+b } } }
}
{ \leq} { {\max { \left( { \frac{ 1 }{ \betrag { a } } } , { \frac{ 1 }{ \betrag { b } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Zeige, dass es reelle Zahlen $a,b$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,a+b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \betrag { a+b } } }
}
{ >} { {\max { \left( { \frac{ 1 }{ \betrag { a } } } , { \frac{ 1 }{ \betrag { b } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige unter Verwendung
der Bernoullischen Ungleichung,
dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Ableitung der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {f(x) = \pi^x +x^e } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten eine Funktion
\maabb {f} {\R} { \R
} {}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { g(x) \sin x + h(x) \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 0}{}} {} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} {\begin{cases} (-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ gerade}, \\ (-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( ng'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ ungerade}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathdisp {\sin \left( \sin \left( \cos x \right) \right) \cdot \cos \left( \cos x \right) \cdot \sin x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.
c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein zweidimensionaler
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} und
\mathl{w_1,w_2,w_3}{} Vektoren in $V$, die jeweils paarweise
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
seien. Zeige, dass es eine bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_i)
}
{ \in} { Kw_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}