Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/18/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Gaußklammer} {} einer reellen Zahl $x$.
}{Eine \stichwort {streng fallende} {} Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von reellen Zahlen $a_k$.
}{Die \stichwort {höheren Ableitungen} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {rekursive Definition} {} {.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Gaußklammer
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor}{} ist durch
\mathdisp {\left \lfloor x \right \rfloor = n, \text{ falls } x \in [n,n+1[ \text{ und } n \in \Z} { , }
definiert.
}{Die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
heißt streng fallend, wenn
\mathdisp {f(x') < f(x) \text { für alle } x,x' \in I \text{ mit } x' > x \text{ gilt}} { . }
}{Unter der Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} versteht man die Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} der Partialsummen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n a_{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie
\mathl{(n-1)}{-}mal differenzierbar ist und die
\mathl{(n-1)}{-}te Ableitung, also
\mathl{f^{(n-1)}}{,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist. Die Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)} (x)
}
{ \defeq} {(f^{(n-1)})' (x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
}{Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn
\definitionsverweis {Ober}{}{-}
und
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
von $f$ existieren und übereinstimmen.
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in V}{.}
} {
\mathl{\varphi(s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Summenregel} {} für reelle Folgen.}{Die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation \zusatzklammer {genaue Formulierung mit Basen} {} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
konvergente Folgen in $\R$. Dann ist die Folge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n + y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)'
}
{ =} {f' g + f g'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
entsprechen sich die Hintereinanderschaltung
von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien
\mathl{U,V,W}{}
Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen
\mathdisp {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_p , \, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n \text{ und } \mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} { . }
Es seien
\mathdisp {\psi:U \longrightarrow V \text{ und } \varphi: V \longrightarrow W} { }
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von
\mathl{\psi,\, \varphi}{} und der Hintereinanderschaltung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} die Beziehung
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi \circ \psi ) = ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }(\psi) )} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{
Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat $100$ Euro in Scheinen ab. \aufzaehlungvier{Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann? }{Ist es möglich, dass er $17$ Scheine bekommt? }{Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich? }{Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt? }
}
{
\aufzaehlungvier{Das Minimum an Scheinen ist $1$
\zusatzklammer {ein Hunderter} {} {,}
das Maximum ist $20$
\zusatzklammer {
\mathl{20}{} Fünfer} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3 \cdot 10 + 14 \cdot 5
}
{ =} { 30 + 70
}
{ =} { 100
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
$17$ Scheine sind also mit $3$ Zehnern und $14$ Fünfern möglich.
}{Es sind die Anzahlen $1-2$ und
\mathl{4-20}{} möglich, mit $3$ Scheinen ist es nicht möglich.
$1$
- ein Hunderter.
$2$
- zwei Fünfziger.
$3$
- Es kann höchstens ein Fünfziger vorkommen, mit zwei Zwanzigern bleibt man aber unterhalb von $100$.
$4$
- Ein Fünfziger und zwei Zwanziger und ein Zehner.
$5$
- Fünf Zwanziger. Um
\mathl{6-10}{} Scheine zu erreichen kann man sukzessive einen Zwanziger durch zwei Zehner ersetzen.
$10$
- $10$ Zehner. Um
\mathl{11-20}{} Scheine zu erreichen kann man sukzessive einen Zehner durch zwei Fünfer ersetzen.
}{Bei einem und zwei Scheinen gibt es offenbar nur eine Möglichekeit, mit drei Scheinen geht es gar nicht. Mit vier Scheinen gibt es nur die Möglichkeit
\mathl{50+20+20+10}{,} da man ohne den Fünfziger nicht auskommt. Mit $5$ Scheinen gibt es die beiden Möglichkeiten entweder fünf Zwanziger oder
\mathl{50+20+20+5+5}{.} Die Antwort ist also $5$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Die Zahlen
\mathdisp {n,n-1,n-2 , \ldots , 3,2,1} { }
werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei $n$ kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?
}
{
Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k + - (k-1)
}
{ =} { k-k +1
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein solches Paar trägt also mit $1$ zur Gesamtsumme bei. Wenn $n$ gerade ist, so gibt es $n/2$ solche Paare und die Gesamtsumme ist $n/2$. Wenn $n$ ungerade ist, so gibt es
\mathl{{ \frac{ n-1 }{ 2 } }}{} solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl $1$, die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n-1 }{ 2 } } +1
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für positive reelle Zahlen $a,b$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \betrag { a+b } } }
}
{ \leq} { {\max { \left( { \frac{ 1 }{ \betrag { a } } } , { \frac{ 1 }{ \betrag { b } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Zeige, dass es reelle Zahlen $a,b$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,a+b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \betrag { a+b } } }
}
{ >} { {\max { \left( { \frac{ 1 }{ \betrag { a } } } , { \frac{ 1 }{ \betrag { b } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Im positiven Fall ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit kann man überall die Betragsstriche weglassen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a+b } }
}
{ < }{ { \frac{ 1 }{ a } }
}
{ \leq }{ {\max { \left( { \frac{ 1 }{ a } } , { \frac{ 1 }{ b } } \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{-2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit steht links
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1 } }
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und rechts das Maximum aus
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }} {,}
also ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ P'
}
{ \defeq} { P-TH
}
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige unter Verwendung
der Bernoullischen Ungleichung,
dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
}
{
Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1- \frac{1}{n^2} \right) }^n
}
{ \geq} {1- n \frac{1}{n^2}
}
{ =} {1- \frac{1}{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\frac{n-1}{n}
}
{ \leq} { { \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right) }^n
}
{ =} { { \left( \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \right) }^n
}
{ =} { { \left( \frac{n+1}{n} \right) }^n { \left( \frac{n-1}{n} \right) }^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit
\mathl{{ \left( \frac{ n}{n-1} \right) }^n}{}
\zusatzklammer {es sei $n \geq 2$} {.} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n-1}
}
{ =} { { \left( \frac{n}{n-1} \right) }^{n-1}
}
{ \leq} { { \left( \frac{n+1}{n} \right) }^n
}
{ =} {a_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{
Wir wollen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x+y }{ 2 } }
}
{ \geq} { \sqrt{xy}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2 +2xy+y^2 }{ 4 } }
}
{ \geq} { xy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2 -2xy+y^2 }{ 4 } }
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ x-y }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ x^2 -2xy+y^2 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies in der Tat wahr.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Da der Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} nicht $0$ ist, gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \geq }{ { \frac{ \betrag { x } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ \betrag { x_n } }
}
{ \leq} { \frac{2}{ \betrag { x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $N_2$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \frac{\epsilon \betrag { x }^2}{2} \text { für alle } n \geq N_2} { . }
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max \{N_1, N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} }
}
{ =} { \betrag { \frac{x_n-x}{x x_n} }
}
{ =} { \frac{1}{\betrag { x } \betrag { x_n }} \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \frac{2}{\betrag { x }^2} \cdot \frac{ \epsilon \betrag { x }^2}{2}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.
}
{
Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $K$ ist die Lösungsmenge der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1)^2 +y^2
}
{ =} { x^2-2x +1 +y^2
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -2x +1
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also
\mathl{(-1,0)}{}
\zusatzklammer {der in der Tat ein Schnittpunkt ist} {} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die Ableitung der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {f(x) = \pi^x +x^e } {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { \ln (\pi) \cdot \pi^x +e x^{e-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Wir betrachten eine Funktion
\maabb {f} {\R} { \R
} {}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { g(x) \sin x + h(x) \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 0}{}} {} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} {\begin{cases} (-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ gerade}, \\ (-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( ng'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ ungerade}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Zum Induktionsanfang betrachten wir
\mathl{n=0}{,} es geht also um die Funktion selbst. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { g(x) \sin x +h(x) \cos x
}
{ =} { (-1)^0 { \left( { \left( g(x) +0 h'(x) \right) } \sin x + { \left( -0 g'(x) + h(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Formel für
\mathl{n=0}{} gerade richtig.
Wir beweisen nun nun die Formel für $n+1$ unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Es sei zunächst $n+1$ ungerade, also $n$ gerade. Dann ist
\zusatzklammer {unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von $g$ und $h$ gleich $0$ sind} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{(n+1)}(x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} \right) }' (x)
}
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }'
}
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( g'(x) \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x + h'(x) \cos x- { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \sin x \right) }
}
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( { \left( g'(x) +n g'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x)+ h'(x) \right) } \cos x \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(-1)^{ ((n+1)-1)/2} { \left( { \left( (n+1) g'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+(n+1) h'(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
so dass der Ausdruck für $n+1$ ungerade vorliegt.
Bei $n+1$ gerade, also $n$ ungerade, ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{(n+1)}(x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} \right) }' (x)
}
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( n g'(x) - h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) }'
}
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( -h'(x) \sin x + { \left( ng'(x) - h(x) \right) } \cos x + g'(x) \cos x- { \left( g(x)+ nh'(x) \right) } \sin x \right) }
}
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( -g(x) -(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( (n+1) g'(x)- h(x) \right) } \cos x \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} (-1) { \left( { \left( g(x) +(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( -(n+1) g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ =} {(-1)^{(n+1)/2} { \left( { \left( g(x) +(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( -(n+1) g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
so dass der Ausdruck für $n+1$ gerade vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathdisp {\sin \left( \sin \left( \cos x \right) \right) \cdot \cos \left( \cos x \right) \cdot \sin x} { . }
}
{
Die Funktion hat die Gestalt
\mathdisp {f (g(h(x))) \cdot g' (h(x)) \cdot ( - h'(x))} { , }
deshalb ist nach der Kettenregel
\zusatzklammer {für drei Funktionen} {} {}
\mathl{- F(g(h(x)))}{} eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ bezeichnet. Also ist
\mathdisp {\cos \left( \sin \left( \cos x \right) \right)} { }
eine Stammfunktion.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird das Gleichungssystem zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x +z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $y$ beliebig, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_0
}
{ =} { { \left\{ y \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix} \mid y \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir rechnen
\mathl{II-aI}{} und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3a x +( 3 -a (1-a) ) z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ 3-a+a^2 }{ 3a } } z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die erste Gleichung liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } { \left( - 5 x +(a-1) z \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } { \left( - 5 { \frac{ 3-a+a^2 }{ 3a } } z +(a-1) z \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3a^2 } }{ \left( -5(3-a+a^2) +3a (a-1) \right) } z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3a^2 } }{ \left( - 2a^2 + 2a -15 \right) } z
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 2a^2 + 2a -15 }{ 3a^2 } } z
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ =} { { \left\{ z \begin{pmatrix} { \frac{ 3-a+a^2 }{ 3a } } \\ { \frac{ - 2a^2 + 2a -15 }{ 3a^2 } } \\ 1 \end{pmatrix} \mid z \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.
c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {\begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 121-120 & -220+220 \\ 66-66 & -120+121 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach Teil a) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist $M$ invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{-1}
}
{ =} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^{-1}
}
{ = }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 44+180 \\24+99 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 224 \\123 \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein zweidimensionaler
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} und
\mathl{w_1,w_2,w_3}{} Vektoren in $V$, die jeweils paarweise
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
seien. Zeige, dass es eine bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_i)
}
{ \in} { Kw_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Da
\mathl{v_1,v_2}{} und
\mathl{w_1,w_2}{} Basen sind, gibt es nach
dem Festlegungsatz
eine bijektive lineare Abbildung
\maabb {\psi} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_1)
}
{ = }{ w_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_2)
}
{ = }{ w_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter $\psi$ bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form
\mathl{v_1,v_2,y}{} und
\mathl{v_1,v_2,z}{} betrachten. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {av_1+bv_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {cv_1+dv_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da andernfalls $y$ bzw. $z$ zu einem der $v_i$ linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung $\varphi$, die durch
\mathkor {} {v_1 \mapsto { \frac{ c }{ a } } v_1} {und} {v_2 \mapsto { \frac{ d }{ b } } v_2} {}
gegeben ist. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi (y)
}
{ =} { \varphi (av_1+bv_2)
}
{ =} { a \varphi(v_1) +b \varphi(v_2)
}
{ =} { a { \frac{ c }{ a } } v_1 + b { \frac{ d }{ b } } v_2
}
{ =} { cv_1+bv_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { z
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit erfüllt $\varphi$ die geforderte Bedingung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{
Das charakteristische Polynom ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-2 & 0 & -5 \\ 0 & x+1 & 0 \\-8 & 0 & x-5 \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-2)(x+1)(x-5) -40 (x+1)
}
{ =} { (x+1)( (x-2)(x-5) -40)
}
{ =} { (x+1) (x^2 -7x-30)
}
}
{}
{}{.}
Dies ergibt zunächst den Eigenwert $-1$. Durch quadratisches Ergänzen
\zusatzklammer {oder direkt} {} {}
sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen
\mathkor {} {-3} {und} {10} {,}
die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.
Eigenraum zu $-1$
- Man muss die Lösungsmenge von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \\-8 & 0 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}}{,} so dass der Eigenraum zu $-1$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}$ ist.
Eigenraum zu $-3$
- Man muss die Lösungsmenge von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -2 & 0 \\-8 & 0 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}}{,} so dass der Eigenraum zu $-3$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}$ ist.
Eigenraum zu $10$
- Man muss die Lösungsmenge von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 8 & 0 & -5 \\ 0 & 11 & 0 \\-8 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\0\\ 8 \end{pmatrix}}{,} so dass der Eigenraum zu $10$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 8 \end{pmatrix}$ ist.
}