Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/20/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Eine \stichwort {Verknüpfung} {} $\circ$ auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {geometrische Reihe} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz.}{Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\N$ auch Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen
\mathdisp {0,1,2,3 , \ldots , 998,999, 1000} { }
hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern $0, 1,2 , \ldots , 9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x
}
{ \geq} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x
}
{ \leq} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1} {und} {x_2 \cdot y_2} {.}
}{Konvergiert die
\definitionsverweis {Produktfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_n
}
{ = }{x_n \cdot y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb der rationalen Zahlen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1 }^n { \frac{ 1 }{ \sqrt{i} } }
}
{ \leq} { 3 \sqrt{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} { \R} { \R
} {z} {f(z)
} {,}
ein Polynom vom Grad $d \geq 2$,
\mathl{w \in \R}{} ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)-t(z)
}
{ =} { (z-w)^2 g(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mathl{g(z)}{} vom Grad
\mathl{d-2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+1+5)}
{
\aufzaehlungdrei{Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} in keinem Punkt schneidet. }{Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet. }{Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn es einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, für den die Familie eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bildet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{.}
Zeige durch zwei
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikationen}{}{,}
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{-1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \det M } } \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}