Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/22/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Durchschnitt} {} von Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \cap M
}
{ =} { { \left\{ x \mid x \in L \text{ und } x \in M \right\} }}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
}{Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen
\mathl{\epsilon >0}{} ein $n_0 \in \N$ derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x_n }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Der
\stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x
}
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Zu
\mathbed {x \in \R} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
heißt die Zahl
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
der Differenzenquotient von $f$ zu
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
}{Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über
\mathl{[a,b]}{} heißt bestimmtes Integral.
}{Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
\mathdisp {s_1v_1+s_2v_2 + \cdots + s_nv_n \text{ mit } s_i \in K} { }
eine Linearkombination dieser Vektoren
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die stetige Umkehrfunktion} {.}}{Die \stichwort {Periodizätseigenschaften} {} für Sinus und Kosinus \zusatzklammer {ohne spezielle Werte} {} {.}}{Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein Intervall und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine stetige,streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
\mathl{J \defeq f(I)}{} ebenfalls ein Intervall, und die
Umkehrabbildung
\maabbdisp {f^{-1}} {J} {I
} {}
ist ebenfalls stetig.}{Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\R$ folgende
\betonung{Periodizitätseigenschaften}{.}
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x+2 \pi \right)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x+2 \pi \right)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x+ \pi \right)
}
{ = }{ - \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {.}
}
{
Man möchte eine Aussage $A$ beweisen. Man nimmt an, dass $A$ nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann $\neg A$ nicht gelten und also muss $A$ gelten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
\mathl{n^2-1}{} eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{?}
}
{
Es gilt generell die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n^2-1
}
{ =} {(n-1)(n+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{n \geq 3}{} sind beide Faktoren
\mathl{\geq 2}{} und daher kann $n^2-1$ nicht prim sein. Bei
\mathl{n=2}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2-1
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Primzahl. Bei
\mathl{n=0,1}{} liegt keine Primzahl vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit
\zusatzklammer {16 Stunden pro Tag} {} {}
zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei
\mathl{2000}{} kcal und $100$ Gramm Heidelbeeren enthalten $42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt $1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
}
{
Heidi muss pro Tag
\mathl{2000:42 \sim 47,6}{} mal
\mathl{100}{} Gramm Heidelbeeren essen, also
\mathl{4,76}{} Kilogramm. Wegen
\mathl{4760:1,5 \sim 3173}{} sind das
\mathl{3173}{} Heidelbeeren pro Tag. Die $16$ Stunden haben
\mathl{16 \cdot 3600 = 57600}{} Sekunden. Es ist
\mathl{57600:3173 \sim 18,15}{.} Sie muss also alle $18,15$ Sekunden eine Heidelbeere essen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n
}
{ \geq} { n^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Induktionsanfang für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{10}
}
{ =} {9^5
}
{ =} { 81 \cdot 81 \cdot 9
}
{ \geq} {6000 \cdot 9
}
{ \geq} { 10000
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {n^4
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Zum Induktionsschluss sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^{n+1}
}
{ =} { 3 \cdot 3^n
}
{ \geq} { 3 \cdot n^4
}
{ =} { n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits ist nach der binomischen Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(n+1)^4
}
{ =} {n^4 + 4n^3 +6n^2 + 4n +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4
}
{ \geq} {n^4 + 4n^3 +6n^2 + 4n +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils $\frac{1}{2} n^4$, mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^4
}
{ \geq }{ 8n^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,} aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^4
}
{ \geq }{ 12 n^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^2
}
{ \geq }{ 12
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^4
}
{ \geq }{ 8n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^4
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ von minimalem Grad mit
\mathdisp {f(0)=0,\, f(1) =1,\, f(2) = 3,\, f(3) = 6} { . }
}
{
Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad $\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {ax^3+bx^2+cx+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+b+c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8a+4b+2c
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 27a+9b+3c
}
{ =} { 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{II-2I}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6a+2b
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{III-3I}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 24a +6b
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8a +2b
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } x^2+ { \frac{ 1 }{ 2 } }x} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_k
}
{ =} { \frac{a_k}{a_{k-1} } \cdot \frac{a_{k-1} }{a_{k-2} } { \cdots } \frac{a_1}{a_{0} } \cdot a_0
}
{ \leq} { a_0 \cdot q^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
\definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dann kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen, denn aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { u }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(u) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Wir zeigen, dass man für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ \betrag { { \frac{ x }{ 2 } } }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ {\min { \left( \delta , \epsilon \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn $x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Im ersten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(u) }
}
{ =} { \betrag { x }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
im zweiten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(q) }
}
{ =} {\betrag { q }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass in beiden Fällen die $\delta$-Umgebung von $x$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ abgebildet wird.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x^4 -2 x^3
}
{ =} { - \sqrt{42}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{x<0}{} und
\mathl{x >2}{} ist
\mathl{f(x)=x^3 (x-2) >0}{,} es kann also allenfalls in
\mathl{[0,2]}{} eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion $f$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { 4x^3 -6 x^2
}
{ =} {2x^2 (2x-3)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
An den beiden Nullstellen
\mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ 3 }{ 2 } }} {}
sind die Werte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } -2 \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {- { \frac{ 27 }{ 16 } }
}
{ >} {-2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { - \sqrt{42}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Also ist das Minimum von $f$ größer als
\mathl{- \sqrt{42}}{} und es gibt keine Lösung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} { \R
} {z} {f(z)
} {,}
eine Funktion, die die Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z+w)
}
{ =} { f(z) \cdot f(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{z,w \in \R}{} erfülle und die in
\mathl{0}{} differenzierbar sei. Zeige, dass dann $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ = }{ \lambda f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem festen
\mathl{\lambda \in \R}{} gilt.
}
{
Bei
\mathl{f(0)=0}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ f(z+0)
}
{ = }{ f(z) f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen $\lambda$) erfüllt. Es sei also
\mathl{f(0) \neq 0}{.} Dann ist
\mathl{f(0)=1}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ f(0+0)
}
{ = }{ f(0) f(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Differenzenquotient ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f(z+h) -f(z) }{ h } }
}
{ =} { { \frac{ f(z) f(h) -f(z) }{ h } }
}
{ =} { f(z) { \frac{ f(h) - 1 }{ h } }
}
{ =} { f(z) { \frac{ f(h) - f(0) }{ h } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für $h \rightarrow 0$ gegen
\mathl{f'(0)}{.} Also konvergiert der Differenzenquotient gegen
\mathl{f(z) f'(0)}{} und die Ableitungseigenschaft ist mit
\mathl{\lambda = f'(0)}{} erfüllt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
}
{
Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq }{f(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [c - \epsilon, c + \epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c- \epsilon
}
{ \leq }{s_n
}
{ < }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $c$
\zusatzklammer {\anfuehrung{von unten}{}} {} {}
konvergiere. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_n- c
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(s_n) -f(c)
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist der Differenzenquotient
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (s_n )-f (c) }{ s_n -c }
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was sich dann
nach Lemma 7.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Folge
\mathl{{ \left( t_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c + \epsilon
}
{ \geq }{ t_n
}
{ > }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (t_n )-f (c) }{ t_n -c }
}
{ \leq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $2$ zur \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ x }{ x^2+1 } } } {,} im Entwicklungspunkt $1$.
}
{
Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (x^2+1) -x (2x) }{ (x^2+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+1 }{ (x^2+1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \frac{ -2x (x^2+1)^2 -4 (1-x^2) (x^2 +1) }{ (x^2+1)^4 x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (1)
}
{ =} { { \frac{ -2 \cdot 4 }{ 16 } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 4 } } (x-1)^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
}
{
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
unter Verwendung von
Lemma 14.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Satz 14.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }'
}
{ =} { f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ =} { f^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{x}}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [1,4]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von
\mathkor {} {1} {und} {4} {}
und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_1^4 \sqrt{x} dx
}
{ =} { \int_1^4 x^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } dx
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } x^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } | _{ 1 } ^{ 4 }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( 4^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } }-1^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( 8-1 \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 14 }{ 3 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Der Durchschnittswert ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 14 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das arithmetische Mittel von
\mathkor {} {1} {und} {4} {}
ist ${ \frac{ 5 }{ 2 } }$, die Wurzel davon ist
\mathl{\sqrt{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 14 }{ 9 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 196 }{ 81 } }
}
{ <} { { \frac{ 200 }{ 80 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ <} { \sqrt{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Quadratwurzeln von
\mathkor {} {1} {bzw.} {4} {}
sind
\mathkor {} {1} {bzw.} {2} {}
und das arithmetische Mittel davon ist
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 18 } }
}
{ <} {{ \frac{ 28 }{ 18 } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies kleiner als
\mathl{{ \frac{ 14 }{ 9 } }}{.} Insgesamt gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ <} {{ \frac{ 14 }{ 9 } }
}
{ <} { \sqrt{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{
Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix}}{} eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}}{} ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n} { }
ein von $0$ verschiedener Vektor.
Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{Lineares Gleichungssystem/n Variablen/Lösungsraum ist (a 1,...,a n)/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}
}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
die beschreibenden Matrizen von $\varphi$ bezüglich zweier Basen. Dann besteht zwischen ihnen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {BNB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der invertierbaren Basiswechselmatrix $B$. Es besteht die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ B (xE_n - N) B^{-1}
}
{ =} { B { \left( xE_n \right) } B^{-1} - B N B^{-1}
}
{ =} { xE_n - B N B^{-1}
}
{ =} { xE_n- M
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da die Streckungsmatrizen
\mathl{xE_n}{} mit jeder Matrix vertauschbar sind. Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatz
gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \left( x E_n-M \right)
}
{ =} { \det \left( B (xE_n - N) B^{-1} \right)
}
{ =} { \det \left( B \right) \det \left( xE_n - N \right) \det \left( B^{-1} \right)
}
{ =} { \det \left( xE_n - N \right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \chi_{ N }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}