Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/27/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Der \stichwort {Betrag} {} einer komplexen Zahl
\mathl{z=a+b { \mathrm i}}{.}
}{Eine reelle \stichwort {Potenzreihe} {.}
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt $a \in \R$.
}{Die \stichwort {Dimension} {} eines $K$-Vektorraums $V$ \zusatzklammer {$V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem} {} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz von Bolzano-Weierstraß} {.}}{Der \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für eine stetige Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}}{Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise durch Induktion die folgende Formel für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n k
}
{ =} {{ \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis
\mathl{3:10^{7}}{} wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums
\mathl{21}{} cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm $2$ Quadratzentimeter einnimmt.
\aufzaehlungzwei {Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
} {Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^4+ { \mathrm i}X^3 +X^2+(1-3 { \mathrm i} )X +3} {und} {T=X^2+ (1-{ \mathrm i}) X+2} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in $\R$ gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
durch Umwandlung der Quantoren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {- x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathbed {b \in K} {}
{b> 1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass es dann Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{cd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktionen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ =} { (g(f(x)))^2 f(g(x))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.
b) Es sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} {\R } {x} {f(x) = e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } } {.} \aufzaehlungfuenf{Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion. }{Zeige, dass diese Funktion injektiv ist. }{Bestimme das Bild von $f$. }{Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an. }{Skizziere den Funktionsgraphen von $f$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin^{ 2 } \left( \cos x \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {x^2+ax+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom vom Grad $2$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von
\mathkor {} {g} {und von} {h} {}
maximal zwei Schnittpunkte besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{a \in I}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Integralfunktion}{}{.}
Zeige, dass dann $F$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} - x &
+2 y &
+ z &
+3 w & = & -1 \\ x &
+3 y &
-2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \\ 3 x &
-5 y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 2 x &
+ y &
\, \, \, \, - z &
+3 w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $K$ ist und bestimme seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede
\mathl{n \times n}{-}Matrix $N$ vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
}
{} {}