Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/29/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge reeller Zahlen.
}{Eine \stichwort {gerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} zu einer Funktion \maabb {f} {]a,b[} {\R } {.}
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Leibnizkriterium für alternierende Reihen} {.}}{Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+1+1)}
{
Wir betrachten die beiden Sätze \anfuehrung{Für jeden Topf gibt es einen Deckel}{} und \anfuehrung{Es gibt einen Deckel für jeden Topf}{,} die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch
\zusatzklammer {quantorenlogisch} {} {}
von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.
\aufzaehlungvier{Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
}{Es sei $T$ die Menge der Töpfe und $D$ die Menge der Deckel. Es sei
\mathl{P}{} ein zweistelliges Prädikat derart, dass
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathl{P(x,y)}{} besagt, dass $y$ auf $x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
}{Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
}{Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Entscheide, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ n! }{ n^n } }} { }
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei \maabb {f} { \R} { \R } {} eine $n$-fach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion mit der Eigenschaft, dass die $n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass $f$ maximal $n$ Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Für welche reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Flächeninhalt der durch die $x$-Achse, die Parabel und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich $17$? Skizziere die Situation.
} {Für welche reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich $13$? Skizziere die Situation.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {} eine lineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 { \frac{ 2 }{ 7 } } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { \frac{ 3 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { , }
die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
mit dem
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {X^n + c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + c_2X^2+c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das charakteristische Polynom der mit
\mathl{s \in K}{} gestreckten Matrix
\mathl{sM}{.}
}
{} {}