Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/29/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge reeller Zahlen.
}{Eine \stichwort {gerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} zu einer Funktion \maabb {f} {]a,b[} {\R } {.}
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k }
}
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k ! ( n - k)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Zu einer
\definitionsverweis {streng wachsenden}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbele {} {\N} {\N
} {i} {n_i
} {,}
heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine Teilfolge der Folge.
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt gerade, wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Eine Funktion
\maabb {F} {{]a,b[}} {\R
} {}
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und
\mathl{F'(x)=f(x)}{} für alle
\mathl{x \in {]a,b[}}{} gilt.
}{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Leibnizkriterium für alternierende Reihen} {.}}{Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{{ \left( x_k \right) }_{k \in \N }}{} eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.
Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k x_k}{.}}{Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist genau dann wachsend
\zusatzklammer {bzw. fallend} {} {,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{f'(x)
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng wachsend.
}{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng fallend.}}{Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt
\mathdisp {\begin{matrix}
a_{11} x_1 & + a_{12} x_2 & \ldots & +a_{1m} x_m & \ldots & + a_{1 n} x_{n} & = & c_1 \\
0 & a_{22} x_2 & \ldots & \ldots & \ldots & + a_{2 n} x_{n} & = & c_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & = & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & a_{mm} x_m & \ldots & +a_{m n} x_n & = & c_m \\
\end{matrix}} { }
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich $0$ seien. Dann stehen die Lösungen
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m, x_{m+1} , \ldots , x_n)}{} in Bijektion zu den Tupeln
\mathl{( x_{m+1} , \ldots , x_n) \in K^{n-m}}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
}
{Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{
\mathl{q}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+2+1+1)}
{
Wir betrachten die beiden Sätze \anfuehrung{Für jeden Topf gibt es einen Deckel}{} und \anfuehrung{Es gibt einen Deckel für jeden Topf}{,} die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch
\zusatzklammer {quantorenlogisch} {} {}
von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.
\aufzaehlungvier{Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
}{Es sei $T$ die Menge der Töpfe und $D$ die Menge der Deckel. Es sei
\mathl{P}{} ein zweistelliges Prädikat derart, dass
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathl{P(x,y)}{} besagt, dass $y$ auf $x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
}{Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
}{Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?
}
}
{
\aufzaehlungvier{Erste Aussage: Für jeden Topf gibt es einen von diesem jeweiligen Topf abhängigen und zu diesem Topf passenden Deckel. Zweite Aussage: Es gibt einen bestimmten Deckel,
der gleichzeitig für überhaupt alle Töpfe gleichermaßen passt.
}{Die erste Aussage ist
\mathdisp {\forall x (x \in T \rightarrow \exists y (y \in D \wedge P(x,y) ))} { , }
die zweite Aussage ist
\mathdisp {\exists y (y \in D \wedge \forall x (x \in T \rightarrow P(x,y) ))} { . }
}{Nein, es kann ja sein, dass es beispielsweise in der Küche für die drei Töpfe jeweils den passenden Deckel gibt, es aber auch noch einen ganz anderen Deckel gibt, der mit keinem Topf was zu tun hat.
}{Das alltägliche Sprachverständnis versucht, Aussagen sinnvoll zu interpretieren. Da die Aussage, dass es wirklich nur einen Deckel gibt, der gleichzeitig für alle Töpfe passt, offenbar absurd ist, versteht man auch die zweite Formulierung im Sinne der ersten sinnvollen Aussage.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund der Surjektivität von $G$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(y)
}
{ =} {z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Surjektivität von $F$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (G \circ F ) (x)
}
{ =} { G(F(x))
}
{ =} { G(y)
}
{ =} { z
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es gibt also ein Urbild von $z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{
\aufzaehlungzwei {Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt
\mathdisp {80 \cdot 7 \cdot 365} { }
Stunden, Person $B$ schläft insgesamt
\mathdisp {70 \cdot 8 \cdot 365} { }
Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist
\mathdisp {80 \cdot 17 \cdot 365} { }
bzw.
\mathdisp {70 \cdot 16 \cdot 365} { , }
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 17
}
{ >} { 7 \cdot 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist $A$ länger wach.
} {Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt
\mathdisp {80 \cdot 8 \cdot 365} { }
Stunden, Person $B$ schläft insgesamt
\mathdisp {70 \cdot 7 \cdot 365} { }
Stunden, Person $A$ schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist
\mathdisp {80 \cdot 16 \cdot 365} { }
bzw,
\mathdisp {70 \cdot 17 \cdot 365} { , }
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 16
}
{ =} {128
}
{ >} { 119
}
{ =} {7 \cdot 17
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $A$ auch länger wach.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{i} a_i X^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \sum_{j } b_j X^{j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P+Q
}
{ =} { \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } X^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für $K$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P+Q)(z)
}
{ =} { { \left( \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } X^i \right) } (z)
}
{ =} { \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } z^i
}
{ =} { \sum_i a_i z^i + \sum_i b_i z^i
}
{ =} { { \left( \sum_i a_iX^i \right) } (z) + { \left( \sum_i b_i X^i \right) } (z)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { P(z) +Q(z)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P \cdot Q
}
{ =} { \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } X^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für $K$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P \cdot Q)(z)
}
{ =} { { \left( \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } X^k \right) } (z)
}
{ =} { \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } z^k
}
{ =} { \sum_{i,j} a_i \cdot b_j z^{i+j}
}
{ =} { { \left( \sum_i a_i z^i \right) } \cdot { \left( \sum_j b_j z^j \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( \sum_i a_iX^i \right) } (z) \cdot { \left( \sum_j b_j X^j \right) } (z)
}
{ =} { P(z) \cdot Q(z)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Für jedes konstante Polynom $a_0$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 (z)
}
{ = }{a_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da nicht eingesetzt werden kann.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Wir erweitern mit
\mathl{n^{- { \frac{ 7 }{ 5 } } }}{} und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 n^{{ \frac{ 5 }{ 4 } }- { \frac{ 7 }{ 5 } } } -2 n^{{ \frac{ 4 }{ 3 } } - { \frac{ 7 }{ 5 } } } + n^{1 - { \frac{ 7 }{ 5 } } } }{ 4n^{ { \frac{ 7 }{ 5 } }- { \frac{ 7 }{ 5 } } } + 5 n^{ { \frac{ 1 }{ 2 } }- { \frac{ 7 }{ 5 } } } + n^{- { \frac{ 7 }{ 5 } } } } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 n^{ -{ \frac{ 3 }{ 20 } } } -2 n^{ - { \frac{ 1 }{ 15 } } } + n^{ - { \frac{ 2 }{ 5 } } } }{ 4 + 5 n^{- { \frac{ 9 }{ 10 } } } + n^{- { \frac{ 7 }{ 5 } } } } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Folgen der Form
\mathl{n^{- q }}{,}
\mathl{q \in \Q_+}{,} konvergieren gegen
\mathl{0}{,} nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen
\mathl{0}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Entscheide, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ n! }{ n^n } }} { }
konvergiert.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n! }{ n^n } }
}
{ =} { { \frac{ n (n-1) \cdots 3 }{ n^{n-2 } }} \cdot { \frac{ 2 \cdot 1 }{ n^2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Reihe
\mathl{\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{} konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor und damit konvergiert die angegebene Reihe.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.
}
{
ungefähr
\mathl{-1,879}{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq} { f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(x)
}
{ =} { \begin{cases} \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \text{ für } x \neq a\, , \\ 0 \text{ für } x = a \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in D \setminus \{a\} } r(x)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in D \setminus \{a\} } { \left( \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt
\mathkor {} {s} {und} {r} {}
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }
}
{ =} { s + r(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach
Definition .
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^x
}
{ =} { \exp \left( x \, \ln a \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
unter Verwendung
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^x \right) }'
}
{ =} { { \left( \exp \left( x \, \ln a \right) \right) }'
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp' (x \, \ln a )
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp \left( x \, \ln a \right)
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } a^x
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
}
{
a) Durch Polynomdivision erhält man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2-3x+2
}
{ = }{ (x-1)(x-2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^3-2x+1
}
{ = }{ (x-1)(x^2+x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}
}
{ =} {\frac{x-2}{x^2+x-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x-2}{x^2+x-1 }
}
{ =} { \frac{-1}{1}
}
{ =} { -1
}
{ } {}
}
{}{}{.}
b) Die Ableitungen sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x^2-3x+2)'
}
{ = }{ 2x-3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x^3-2x+1)'
}
{ = }{ 3x^2-2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die beide für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine Nullstelle besitzen. Nach der
Regel von l'Hospital
ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{2x-3}{3x^2-2}
}
{ =} { \frac{-1}{1}
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei \maabb {f} { \R} { \R } {} eine $n$-fach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion mit der Eigenschaft, dass die $n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass $f$ maximal $n$ Nullstellen besitzt.
}
{
Wir zeigen die Aussage durch Induktion über $n$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet die Voraussetzung einfach, dass $f$ selbst überall positiv ist und damit keine Nullstelle besitzen kann.
Es sei die Aussage nun für $n$ bewiesen und sei $f$ eine
\mathl{(n+1)}{-}fach stetig differenzierbare Funktion, deren $(n+1)$-te Ableitung überall positiv ist. Das bedeutet für die erste Ableitung $f'$, dass deren $n$-te Ableitung immer positiv ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt daher $f'$ höchstens $n$ Nullstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist dann $f'$ nach dem Zwischenwertsatz immer positiv oder immer negativ und das gilt auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle. Es gibt also höchstens
\mathl{n+1}{} Intervalle, auf denen $f'$ im Innern positiv oder negativ ist. Dies bedeutet wieder für $f$, dass es höchstens $n+1$ Intervalle gibt, auf denen $f$ streng wachsend oder streng fallend ist. Auf einem solchen Intervall kann $f$ höchstens eine Nullstelle besitzen, so dass $f$ höchstens $n+1$ Nullstellen besitzt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Für welche reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Flächeninhalt der durch die $x$-Achse, die Parabel und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich $17$? Skizziere die Situation.
} {Für welche reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich $13$? Skizziere die Situation.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Bedingung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ c } x^2 \, d x
}
{ =} { 17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ c } x^2 \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 | _{ 0 } ^{ c }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } c^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { \sqrt[3] { 51}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Wenn der $y$-Wert bis $d$ läuft, so bewegt sich der $x$-Wert zwischen
\mathkor {} {- \sqrt{d}} {und} {\sqrt{d}} {.}
Daher lautet die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \sqrt{d} d - \int_{ - \sqrt{d} }^{ \sqrt{d} } x^2 \, d x
}
{ =} { 13
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ - \sqrt{d} }^{ \sqrt{d} } x^2 \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 | _{ - \sqrt{d} } ^{ \sqrt{d} }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt{d}^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung wird daher zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{13
}
{ =} {2\sqrt{d} d - { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt{d}^3
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 6 } } \sqrt{d}^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \sqrt[3] { { \frac{ 78 }{ 5 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {} eine lineare Abbildung ist.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1, u_2
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \psi \circ \varphi) (u_1+u_2)
}
{ =} { \psi ( \varphi (u_1+u_2) )
}
{ =} { \psi ( \varphi (u_1)+ \varphi( u_2) )
}
{ =} { \psi ( \varphi (u_1))+ \psi( \varphi( u_2) )
}
{ =} { ( \psi \circ \varphi) (u_1) + ( \psi \circ \varphi) (u_2)
}
}
{}
{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \psi \circ \varphi) ( su )
}
{ =} { \psi ( \varphi (su) )
}
{ =} { \psi ( s \varphi (u) )
}
{ =} { s \psi ( \varphi (u) )
}
{ =} { s ( \psi \circ \varphi) (u )
}
}
{}
{}{,}
was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{
Die Matrix $M$ bildet
\mathdisp {e_3 \mapsto e_2,\, e_2 \mapsto e_1,\, e_1 \mapsto 0, \, e_4 \mapsto 0} { }
ab. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1
}
{ \defeq }{ e_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_2
}
{ \defeq }{ e_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_3
}
{ \defeq }{ e_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_4
}
{ \defeq }{ e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bezüglich dieser Basis wird die durch $M$ gegebene lineare Abbildung durch die Matrix $N$ beschrieben, die Matrizen sind also zueinander ähnlich.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 { \frac{ 2 }{ 7 } } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { \frac{ 3 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { , }
die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.
}
{
Die inverse Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 4 }{ 13 } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { \frac{ 7 }{ 16 } } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3{ \frac{ 2 }{ 3 } } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
mit dem
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {X^n + c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + c_2X^2+c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das charakteristische Polynom der mit
\mathl{s \in K}{} gestreckten Matrix
\mathl{sM}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{(a_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{sM
}
{ =} { \begin{pmatrix} s a_{11} & sa_{12} & \ldots & sa_{1n} \\ sa_{21} & sa_{22} & \ldots & sa_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ sa_{n1} & sa_{n2} & \ldots & sa_{nn} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei zunächst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ sM }
}
{ =} { \det (X E_n - sM)
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X- s a_{11} & sa_{12} & \ldots & sa_{1n} \\ sa_{21} & X- sa_{22} & \ldots & sa_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ sa_{n1} & sa_{n2} & \ldots & X-sa_{nn} \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} s { \left( { \frac{ X }{ s } }- a_{11} \right) } & sa_{12} & \ldots & sa_{1n} \\ sa_{21} & s { \left( { \frac{ X }{ s } }- a_{22} \right) } & \ldots & sa_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ sa_{n1} & sa_{n2} & \ldots & s { \left( { \frac{ X }{ s } }- a_{nn} \right) } \end{pmatrix}
}
{ =} { s^n \cdot \det \begin{pmatrix} { \frac{ X }{ s } }- a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & { \frac{ X }{ s } }- a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & { \frac{ X }{ s } }- a_{nn} \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { s^n \cdot \chi_{ M } { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Hier steht also das charakteristische Polynom zu $M$, wobei man die Variable überall durch
\mathl{{ \frac{ X }{ s } }}{} ersetzt, und das Ganze mit $s^n$ multipliziert. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ sM }
}
{ =} { s^n { \left( { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^n + c_{n-1} { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^{n-1}+c_{n-2} { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^{n-2} + \cdots + c_2 { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^2+c_1 { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }+c_0 \right) }
}
{ =} { X^n + sc_{n-1}X^{n-1}+s^2c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + s^{n-2}c_2X^2+s^{n-1}c_1X+s^nc_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieser Zusammenhang gilt auch bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da dann
\mathl{sM}{} die Nullmatrix ist, deren charakteristisches Polynom gleich $X^n$ ist.
}