Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} { L } { M } {.}
}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.
}{Die \stichwort {Exponentialreihe} {} für
\mathl{x \in \R}{.}
}{Das
\stichwort {obere Treppenintegral} {}
zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion
\maabbdisp {f} { I } {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { V } { V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $7$ und der andere ein Fassungsvermögen von $10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Cauchy-Kriterium für \definitionsverweis {Reihen}{}{} reeller Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} $f \circ f, f \circ f \circ f, \ldots$ unendlich oft differenzierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2-5x+7 }{ x^3 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine reelle Lösung im Intervall
\mathl{[1,2]}{} besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } { x } {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { -2 x^3 +7x^2- 3x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} { x } {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x}
} {,}
über
\mathl{[1,4]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { { \mathrm i} z } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { V } { W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 0 \\ -1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ -3 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+4)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} T & T-1 \\ T+1 & { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{\R(T)}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
} {Bestimme, ob $M$ Eigenwerte besitzt.
}
}
{} {}