Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}
}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.
}{Die \stichwort {Exponentialreihe} {} für
\mathl{x \in \R}{.}
}{Das
\stichwort {obere Treppenintegral} {}
zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
}{Die Abbildung
\maabbdisp {G} {M} {L} {,}
die jedes Element
\mathl{y \in M}{} auf das eindeutig bestimmte Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{F(x)=y}{} abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
}{Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n!
}
{ \defeq} { n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!}} { }
die Exponentialreihe in $x$.
}{Zur
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
heißt das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
\mathdisp {T= \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
}{Der Endomorphismus $\varphi$ heißt \stichwort {diagonalisierbar} {,} wenn $V$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$ besitzt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Eine konvergente reelle Folge ist beschränkt.}{Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} {f(c)(b-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein Körper,
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien $K$-Vektorräume und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn
\mathl{\operatorname{kern} \varphi=0}{} ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $7$ und der andere ein Fassungsvermögen von $10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{
Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.
\mathdisp {(0,0),\, (7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{
\aufzaehlungvier{Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug.
}{In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 180 000 }{ 3600 } }
}
{ =} {{ \frac{ 180 0 }{ 36 } }
}
{ =} { 50
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $30$ Meter pro Sekunde.
}{In den $25$ Sekunden legt der Zug
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 \cdot 50
}
{ =} { 1250
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter zurück.
}{Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1250 -500
}
{ =} { 750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 25 \cdot 30
}
{ =} { 750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wenn
\mathl{x \geq y}{} ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit
\mathl{y \geq 0}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ \geq} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und durch Multiplikation mit
\mathl{x \geq 0}{} auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq} {xy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt.
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ \geq} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergeben, also insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{x,y \geq 0}{} folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein Widerspruch.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} so dass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Lemma 4.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, so dass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das Cauchy-Kriterium für \definitionsverweis {Reihen}{}{} reeller Zahlen.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq }{ \sum_{k = 0}^n a_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ derart gibt, dass zu jedem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq} { m
}
{ \geq} { n_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n -x_m }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n -x_m }
}
{ =} { \betrag { \sum_{k = 0}^n a_k-\sum_{k = 0}^m a_k }
}
{ =} { \betrag { \sum_{k = m+1}^n a_k }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die Verschiebung um $1$ in der Indexmenge macht keinen Unterschied} {} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} $f \circ f, f \circ f \circ f, \ldots$ unendlich oft differenzierbar sind.
}
{
Wir betrachten die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 0\, , \text{ für } x \leq 1 \, , \\ 1 \text{ sonst } ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion. Diese Funktion ist an der Stelle $1$ nicht stetig, da sie dort eine Sprungstelle besitzt. Es ist
\mathl{f \circ f}{} die konstante Funktion mit dem Wert $0$, da $f$ nur die beiden Wert
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt und diese beiden auf $0$ abgebildet werden. Höhere Hintereinanderschaltungen von $f$ mit sich selbst sind aus demselben Grund ebenfalls die Nullabbildung. Als konstante Abbildung sind diese unendlich oft differenzierbar.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2-5x+7 }{ x^3 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine reelle Lösung im Intervall
\mathl{[1,2]}{} besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
}
{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2-5x+7 }{ x^3 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Die Funktion hat an der Stelle $1$ den Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1^2-5 +7 }{ 1 } }
}
{ =} { 3
}
{ >} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und an der Stelle $2$ den Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 4-10+7 }{ 8 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ <} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
nach dem Zwischenwertsatz muss es also dazwischen ein Element mit dem Wert $1$ geben. Wir verwenden die Intervallhalbierung zur Approximation einer solchen Stelle. An der Stelle
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{} ist der Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^2-5 \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) +7 }{ \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^3 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } -5 \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) +7 }{ { \frac{ 27 }{ 8 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 18 -60 +56 }{ 27 } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 27 } }
}
{ <} {1
}
}
{}{}{.}
Eine Lösung muss sich also im Intervall
\mathl{[1, { \frac{ 3 }{ 2 } } ]}{} befinden. An der Stelle
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 4 } }}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \left( \frac{ 5 }{ 4 } \right)^2-5 \left( \frac{ 5 }{ 4 } \right) +7 }{ \left( \frac{ 5 }{ 4 } \right)^3 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 \cdot 25 -25 \cdot 16 +7 \cdot 64 }{ 125 } }
}
{ =} { { \frac{ 100 -400 + 448 }{ 125 } }
}
{ =} { { \frac{ 148 }{ 125 } }
}
{ >} { 1
}
}
{}{}{.}
Eine Lösung muss sich also im Intervall
\mathl{[ { \frac{ 5 }{ 4 } } , { \frac{ 3 }{ 2 } } ]}{} befinden. An der Stelle
\mathl{{ \frac{ 11 }{ 8 } }}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \left( \frac{ 11 }{ 8 } \right)^2-5 \left( \frac{ 11 }{ 8 } \right) +7 }{ \left( \frac{ 11 }{ 8 } \right)^3 } }
}
{ =} { { \frac{ 8 \cdot 121 - 55 \cdot 64 + 7 \cdot 512 }{ 1331 } }
}
{ =} { { \frac{ 968 - 3520 + 3584 }{ 1331 } }
}
{ =} { { \frac{ 1032 }{ 1331 } }
}
{ <} { 1
}
}
{}{}{.}
Daher liegt eine Lösung im Intervall
\mathl{[ { \frac{ 10 }{ 8 } } , { \frac{ 11 }{ 8 } } ]}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ x } } \cdot \sin \left( \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { - { \left( { \frac{ \sin \left( \ln x \right) }{ x } } \right) }^\prime
}
{ =} { - { \frac{ \cos \left( \ln x \right) - \sin \left( \ln x \right) }{ x^2 } }
}
{ =} { -{ \frac{ \cos \left( \ln x \right) }{ x^2 } } +{ \frac{ \sin \left( \ln x \right) }{ x^2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }
}
{
Wir betrachten die Hilfsfunktion
\maabbeledisp {h} {\R} {\R
} {x} {h(x) = f(x)-g(x)
} {.}
Nach den Voraussetzungen ist $h$ differenzierbar, es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(a)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h'(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(a)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Nehmen wir also an, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h'(c)
}
{ =} { \frac{h(x)-h(a)}{x-a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {-2 x^3 +7x^2- 3x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Ableitung der Funktion $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { -6x^2 +14x -3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { -12x +14
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn wir die erste Ableitung gleich $0$ setzen, so erhalten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 - { \frac{ 7 }{ 3 } } x + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } } \pm \sqrt{ \left( \frac{ 7 }{ 6 } \right)^2 - { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 49 }{ 36 } } - { \frac{ 18 }{ 36 } } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } } \pm { \frac{ \sqrt{ 31 } }{ 6 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die zweite Ableitung an
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } }- { \frac{ \sqrt{ 31 } }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 - \sqrt{ 31 } }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} { \left( { \frac{ 7 - \sqrt{ 31 } }{ 6 } } \right) }
}
{ =} { -14 + 2 \sqrt{31} +14
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also liegt an der Stelle
\mathl{{ \frac{ 7 - \sqrt{ 31 } }{ 6 } }}{} ein isoliertes lokales Minimum vor.
Für die zweite Ableitung an
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } } + { \frac{ \sqrt{ 31 } }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 + \sqrt{ 31 } }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} { \left( { \frac{ 7 + \sqrt{ 31 } }{ 6 } } \right) }
}
{ =} { -14 - 2 \sqrt{31} +14
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also liegt an der Stelle
\mathl{{ \frac{ 7+ \sqrt{ 31 } }{ 6 } }}{} ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall
\mathl{[a,b]}{} ist die Funktion $f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien
\mathkor {} {m} {und} {M} {}
das
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
bzw. das
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
der Funktion. Dann ist insbesondere
\mathl{m \leq f(x) \leq M}{} für alle
\mathl{x \in [a,b]}{} und
\mathdisp {m(b-a) \leq \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq M(b-a)} { . }
Daher ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t = d (b-a)}{} mit einem
\mathl{d \in [m,M]}{} und aufgrund des Zwischenwertsatzes
gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(c)=d}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x}
} {,}
über
\mathl{[1,4]}{.}
}
{
Eine Stammfunktion zu $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } x^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } -2 x^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } +{ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (2x+3) + e^{-x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ 1 }^{ 4 } f ( x) \, d x
}
{ =} { F(4)-F(1)
}
{ =} { { \frac{ 16 }{ 3 } } -4 +{ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln 11+ e^{-4} -{ \frac{ 2 }{ 3 } }+2-{ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln 5 -e^{-1}
}
{ =} { { \frac{ 8 }{ 3 } }+{ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln { \frac{ 11 }{ 5 } }+ e^{-4} -e^{-1}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { { \mathrm i} z } {.}
}
{
Die Umkehrfunktion ist
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { - { \mathrm i} z
} {,}
da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i} { \left( - { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Der Unterraum $U$ ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei
\mathl{u_1,u_2 , \ldots , u_m}{} eine Basis von $U$, die wir durch
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} zu einer Basis von $V$ ergänzen können. Es sei
\mathl{W=K^n}{.} Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {K^n
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(u_i) =0 \text{ für } i=1 , \ldots , m} { }
und
\mathdisp {\varphi(v_j) =e_j \text{ für } j=1 , \ldots , n} { }
festgelegt ist
\zusatzklammer {dabei sei $e_j$ der $j$-te Standardvektor des $K^n$} {} {,} was nach dem
Basisfestlegungssatz
möglich ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{j = 1}^n t_j v_j \right) }
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n t_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n t_j e_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist
\mathl{U \subseteq \operatorname{kern} \varphi}{.} Es sei
\mathdisp {v= \sum_{i=1}^m s_i u_i + \sum_{j=1}^n t_j v_j \in \operatorname{kern} \varphi} { . }
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {\varphi (v)
}
{ =} {\sum_{j=1}^n t_j e_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Standardbasis vorliegt, sind die
\mathl{t_j = 0}{} und daher ist
\mathl{v \in U}{.} Also ist
\mathl{U=\operatorname{kern} \varphi}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 0 \\ -1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ -3 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Wir entwickeln nach der vierten Zeile. Dies ergibt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 0 \\ -1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ -3 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 9 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \\1 & 3 & 6 \end{pmatrix} + 7 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 \\ -1 & 0 & 5 \\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { 3 \cdot { \left( 3 \cdot 24 + 1 \cdot 18 \right) } + 7 \cdot { \left( 1 (-5) + 1 \cdot 0 \right) }
}
{ =} { 270 -35
}
{ =} { 235
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+4)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} T & T-1 \\ T+1 & { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{\R(T)}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
} {Bestimme, ob $M$ Eigenwerte besitzt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-T & -(T-1) \\ -(T+1) & X- { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix}
}
{ =} { (X-T) { \left( X- { \frac{ 1 }{ T } } \right) } - (T+1)(T-1)
}
{ =} { X^2 - { \left( T + { \frac{ 1 }{ T } } \right) } X +1 -T^2 +1
}
{ =} { X^2 - { \frac{ T^2+1 }{ T } } X -T^2 +2
}
}
{}
{}{.}
} {Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2 - { \frac{ T^2+1 }{ T } } X -T^2 +2
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 -T^2 +2
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 -{ \frac{ T^4+2T^2+1 }{ 4T^2 } } -T^2 +2
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 +{ \frac{ -T^4-2T^2-1 - 4T^4 +8T^2 }{ 4T^2 } }
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 + { \frac{ - 5 T^4+6 T^2- 1 }{ 4T^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 - { \frac{ 5 T^4-6 T^2+ 1 }{ 4T^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Für das Polynom
\mathl{A := 5 T^4-6 T^2+ 1}{} gilt:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ A
}
{ =} { 5 T^4-6 T^2+ 1
}
{ =} { 5\left( T^4-{ \frac{ 6 }{ 5 } } T^2+ { \frac{ 1 }{ 5 } } \right)
}
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - { \frac{ 9 }{ 25 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } \right)
}
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - { \frac{ 4 }{ 25 } } \right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right)^2 \right)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daraus lassen sich direkt die 4 Nullstellen
\mathl{-1, 1, -{ \frac{ 1 }{ \sqrt5 } }, { \frac{ 1 }{ \sqrt5 } }}{} ablesen. Also besteht die Linearfaktorzerlegung von
\mathl{A}{} aus 4 unterschiedlichen Linearfaktoren.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in
\mathl{\R (T)}{} eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
Wir behaupten, dass
\mathl{5 T^4-6 T^2+ 1}{} keine Quadratwurzel in
\mathl{{\mathbb C} (T)}{} (und damit auch in
\mathl{\R (T)}{}) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion
\mathl{P/Q}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { { \frac{ P^2 }{ Q^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben würde, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A Q^2
}
{ =} { P^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von $A Q^2$ eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von $A$ enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von $P$ jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.
Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert. }
}