Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/30/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Eine \stichwort {beschränkte} {} Teilmenge von reellen Zahlen.
}{Eine \stichwort {fallende} {} reelle Folge.
}{Die \stichwort {eulersche Zahl} {} $e$.
}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der Exponentialfunktion.}{Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Negiere den Satz \anfuehrung{Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich}{} durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{8,6}{} Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\N} {\Z } {n} {\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} } {} Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+x^{-s}
}
{ <} { { \frac{ 1 }{ 1-x^{-s} } }
}
{ \leq} {1 + 2x^{-s}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_1 , \ldots , a_n \in K$ und $n$ Elemente $b_1 , \ldots , b_n \in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n
}
{ =} {[a_n,b_n]
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Regel von l'Hospital.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+1+3+1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {x} { x^{-1}
} {.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne die erste Ableitung von $f$.
}{Berechne die zweite Ableitung von $f$.
}{Erstelle
\zusatzklammer {und beweise} {} {}
eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$.
}{Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 2 }^{ 5 } { \frac{ x }{ x+1 } } \, d x} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 2- 3 { \mathrm i} & 4+7 { \mathrm i} & 3- { \mathrm i} \\ 0 & 1-5 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{} {}