Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/30/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Eine \stichwort {beschränkte} {} Teilmenge von reellen Zahlen.
}{Eine \stichwort {fallende} {} reelle Folge.
}{Die \stichwort {eulersche Zahl} {} $e$.
}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \cup M
}
{ =} { { \left\{ x \mid x \in L \text{ oder } x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
}{Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der reellen Zahlen heißt
beschränkt,
wenn es reelle Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \leq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ [s, S]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt fallend, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \leq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Die eulersche Zahl ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Man nennt die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Spalten
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraums}{}{}
von $K^m$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ \defeq} { { \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = \lambda v \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der Exponentialfunktion.}{Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}{Für reelle Zahlen
\mathl{x,y \in \R}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( x+y \right)
}
{ =} { \exp x \cdot \exp y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Jedes
\zusatzklammer {inhomogene} {} {}
lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$ lässt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
\mathdisp {\begin{matrix}
b_{1s_1} x_{s_1} & + b_{1 s_1 +1} x_{s_1+1} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & +b_{1 n} x_{n} & = & d_1 \\
0 & \ldots & 0 & b_{2 s_2} x_{s_2} & \ldots & \ldots & \ldots & + b_{2 n} x_{n} & = & d_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & = & \vdots \\
0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & b_{m {s_m} } x_{s_m} & \ldots & +b_{m n} x_n & = & d_m \\
( 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & = & d_{m+1} )
\end{matrix}} { }
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten
\mathl{b_{1s_1}, b_{2 s_2} , \ldots , b_{m s_m}}{} von $0$ verschieden sind.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Negiere den Satz \anfuehrung{Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich}{} durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).
}
{
Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \cap C \right) }}{.} Dann ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{x \not\in B \cap C}{.} Letzteres bedeutet
\mathkor {} {x \not\in B} {oder} {x \not\in C} {.}
Im ersten Fall ist
\mathl{x \in A \setminus B}{,} im zweiten Fall
\mathl{x \in A \setminus C}{,} in beiden Fällen also
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }}{.}
Wenn umgekehrt
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }}{} gilt, so bedeutet dies
\mathl{x \in A \setminus B}{} oder
\mathl{x \in A \setminus C}{.} Im ersten Fall ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{x \not\in B}{,} im zweiten Fall
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{x \not\in C}{.} Also ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{x \not\in B \cap C}{} und somit ist
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \cap C \right) }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{8,6}{} Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?
}
{
Der Anteil am weltweiten Gold ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 86 }{ 217 } \right)^3
}
{ =} { 0,396^3
}
{ =} {0 ,062
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also etwa
\mathl{6,2 \%}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\N} {\Z } {n} {\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} } {} Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
}
{
Die Abbildung ist bijektiv und damit auch injektiv und surjektiv. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an, wir definieren
\maabbeledisp {g} {\Z} {\N
} {m} {\begin{cases} 2 \betrag { m } , \text{ falls } m \leq 0 \text{ ist} \, ,\\ 2 m-1, \text{ falls } m > 0 \text{ ist} \, . \end{cases}
} {}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gerade ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(f(n))
}
{ =} {g { \left( - { \frac{ n }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ungerade ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(f(n))
}
{ =} {g { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { 2 { \frac{ n+1 }{ 2 } } -1
}
{ =} { n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umgekehrt ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(g(m))
}
{ =} { f(2 \betrag { m } )
}
{ =} { f( - 2 m )
}
{ =} { - { \left( - m \right) }
}
{ =} { m
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(g(m))
}
{ =} { f(2 m -1 )
}
{ =} { { \frac{ 2m-1+1 }{ 2 } }
}
{ =} { m
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+x^{-s}
}
{ <} { { \frac{ 1 }{ 1-x^{-s} } }
}
{ \leq} {1 + 2x^{-s}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{-s}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^s } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2^s } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ <} {1
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^{-s}
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit
\mathl{1-x^{-s}}{} multiplizieren.
Die linke Abschätzung folgt somit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+x^{-s})(1-x^{-s})
}
{ =} {1- (x^{-s})^2
}
{ <} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die rechte Abschätzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} { (1+2 x^{-s})(1-x^{-s})
}
{ =} {1+x^{-s} - 2 x^{-s}x^{-s}
}
{ =} { 1+x^{-s} (1-2x^{-s})
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^{-s}
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -2 x^{-s}
}
{ \geq }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1-2x^{-s}
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} {1+x^{-s} (1-2x^{-s})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestätigt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
}
{
Die Anteile stimmen überein. Die Weinmenge sei jeweils zu $1$ normiert und die Größe des kleineren Glases sei $x$. Nach dem ersten Umfüllen befindet sich im Rotweinglas
\mathl{1-x}{} Rotwein
\zusatzklammer {und kein Weißwein} {} {}
und im Weißweinglas $1$ Weißwein und $x$ Rotwein. Im Weißweinglas beträgt der Weißweinanteil
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1+x } }}{} und der Rotweinanteil
\mathl{{ \frac{ x }{ 1+x } }}{.} Daher wird beim zweiten Umfüllen
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1+x } } x}{} Weißwein und
\mathl{{ \frac{ x }{ 1+x } }x}{} Rotwein transportiert. Der Weißweinanteil im Weißweinglas ist somit zum Schluss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - { \frac{ 1 }{ 1+x } } x
}
{ =} {{ \frac{ 1+x-x }{ 1+x } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 1+x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Rotweinanteil im Rotweinglas ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 - x +{ \frac{ x }{ 1+x } }x
}
{ =} { { \frac{ { \left( 1-x \right) } { \left( 1+x \right) } +x^2 }{ 1+x } }
}
{ =} { { \frac{ 1-x^2 +x^2 }{ 1+x } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{
Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für $\R$ gelten. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 \cdot (a+b { \mathrm i} )
}
{ =} { a+b { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist die $1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( (a+b { \mathrm i} ) (c+d { \mathrm i} ) \right) } (e+f { \mathrm i} )
}
{ =} { { \left( ac-bd + (bc + ad) { \mathrm i} \right) } (e+f { \mathrm i} )
}
{ =} { (ac-bd) e -(bc+ad) f + { \left( (ac-bd )f + (bc + ad) e \right) } { \mathrm i}
}
{ =} { ace-bd e -bcf -ad f + { \left( acf -bd f + bce + ad e \right) } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Ebenso ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) { \left( (c+d { \mathrm i} ) (e+f { \mathrm i} ) \right) }
}
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( ce - df + ( cf + de) { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { a (ce-df) - b ( cf+de) + { \left( b (ce-df ) + a(cf + de ) \right) } { \mathrm i}
}
{ =} { ace-adf -bcf+ -b d e + { \left( bce -bd f + acf + ad e \right) } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so ist mindestens eine der Zahlen
\mathkor {} {a} {oder} {b} {}
von $0$ verschieden und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 +b^2
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathl{{ \frac{ a }{ a^2+b^2 } } -{ \frac{ b }{ a^2+b^2 } } { \mathrm i}}{} eine komplexe Zahl und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a+b { \mathrm i} \right) } { \left( { \frac{ a }{ a^2+b^2 } } -{ \frac{ b }{ a^2+b^2 } } { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^2+b^2 } } { \left( a +b { \mathrm i} \right) } { \left( a-b { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^2+b^2 } } { \left( a^2 +b^2 \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also besitzt jedes Element $\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) { \left( c+d { \mathrm i} + e+f { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( ( c+e) + (d+f) { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { a(c+e) -b(d+f) + ( a(d+f) +b(c+e) ) { \mathrm i}
}
{ =} { ac+ae -bd-bf + ( ad+af +bc+be ) { \mathrm i}
}
{ =} { ac-bd + (ad+bc) { \mathrm i} + ae-bf + (af+be) { \mathrm i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( c+d { \mathrm i} \right) } + (a+b { \mathrm i} ) { \left( e+f { \mathrm i} \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_1 , \ldots , a_n \in K$ und $n$ Elemente $b_1 , \ldots , b_n \in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein festes $i$. Dann ist
\mathdisp {(X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen
\mathl{a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_{i+1} , \ldots , a_n}{} den Wert $0$ hat. Das Polynom
\mathdisp {{ \frac{ b_i }{ (a_i-a_1) \cdots (a_{i}-a_{i-1}) (a_{i} -a_{i+1}) \cdots (a_i-a_n) } } (X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_i$ den Wert $b_i$. Nennen wir dieses Polynom $P_i$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {P_1 + P_2 + \cdots + P_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_i$ gilt ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_j(a_i)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)).
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=3$.
}
{
Das Heron-Verfahren ergibt der Reihe nach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \defeq} { { \frac{ 3+ { \frac{ 5 }{ 3 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_2
}
{ \defeq} { { \frac{ { \frac{ 7 }{ 3 } } + { \frac{ 5 }{ \,\, { \frac{ 7 }{ 3 } } \, \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 7 }{ 3 } } + { \frac{ 15 }{ 7 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, { \frac{ 49 +45 }{ 21 } } \,\, }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 47 }{ 21 } }
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_3
}
{ \defeq} { { \frac{ { \frac{ 47 }{ 21 } } + { \frac{ 5 }{ \,\, { \frac{ 47 }{ 21 } } \, \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 47 }{ 21 } } + { \frac{ 105 }{ 47 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, { \frac{ 2209 + 2205 }{ 987 } } \,\, }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2207 }{ 987 } }
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n
}
{ =} {[a_n,b_n]
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
vorliegt.
}
{
Für $n$ gerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a_n,b_n]
}
{ =} { [0, { \frac{ 1 }{ n } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für $n$ ungerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a_n,b_n]
}
{ =} { [- { \frac{ 1 }{ n } }, 0 ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Intervalllänge ist stets ${ \frac{ 1 }{ n } }$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{n \in \N_+} [a_n,b_n]
}
{ =} { \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Regel von l'Hospital.
}
{
Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das
Folgenkriterium. Da $g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, besitzt auch $g$ nach
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
außer $a$ keine Nullstelle. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in
\mathl{I \setminus \{ a \}}{,} die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Zu jedem $x_n$ gibt es nach
Satz 15.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)),
angewandt auf
\mathkor {} {I_n \defeq [x_n, a ]} {bzw.} {[ a ,x_n]} {,}
ein $c_n$
\zusatzklammer {im Innern von $I_n$} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f(x_n)-f( a )}{g(x_n)-g( a ) }
}
{ =} {\frac{f'(c_n)}{g'(c_n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Folge
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert ebenfalls gegen $a$, so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{f'( a )}{g'( a )}
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen $w$, und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f( a )
}
{ = }{g( a )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet das, dass
\mathl{\frac{f(x_n)}{g(x_n)}}{} gegen $w$ konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7 (1+1+3+1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {x} { x^{-1}
} {.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne die erste Ableitung von $f$.
}{Berechne die zweite Ableitung von $f$.
}{Erstelle
\zusatzklammer {und beweise} {} {}
eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$.
}{Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { - x^{ - 2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \left( - x^{ - 2 } \right) }^\prime
}
{ =} { 2 x^{ - 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)}(x)
}
{ =} { (-1)^{n} n! x^{ -1-n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies beweisen wir durch Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert. Der Induktionsschluss ergibt sich durch
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{(n+1)} (x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} (x) \right) }'
}
{ =} { { \left( (-1)^{n} n! x^{ -1-n } \right) }'
}
{ =} { (-1)^n n! (-1-n) x^{-1-n-1}
}
{ =} { (-1)^{n+1} n! (n+1) x^{-1-(n+1)}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n+1} (n+1)! x^{-1-(n+1)}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Das Taylorpolynom vom Grad $4$ mit Entwicklungspunkt $1$ ist
\mathdisp {1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + (x-1)^4} { . }
}{Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} { (-1)^{n} { \frac{ n! }{ n! } }
}
{ =} { (-1)^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, also ist die Taylorreihe gleich
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} (x-1)^n} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 2 }^{ 5 } { \frac{ x }{ x+1 } } \, d x} { }
}
{
Mit der Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das bestimmte Integral gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ 2 }^{ 5 } { \frac{ x }{ x+1 } } \, d x
}
{ =} { \int_{ 3 }^{ 6 } { \frac{ y-1 }{ y } } \, d y
}
{ =} { \int_{ 3 }^{ 6 } 1 - { \frac{ 1 }{ y } } \, d y
}
{ =} { \left( y - \ln y \right) | _{ 3 } ^{ 6 }
}
{ =} { 3 + \ln 3- \ln 6
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 3 + \ln \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
}
{
Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?
}
{
Die erste binomische Formel gilt nicht, da beispielsweise
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) }^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
aber
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 +2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} +2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
gilt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 2- 3 { \mathrm i} & 4+7 { \mathrm i} & 3- { \mathrm i} \\ 0 & 1-5 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \begin{pmatrix} 0 & 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 2- 3 { \mathrm i} & 4+7 { \mathrm i} & 3- { \mathrm i} \\ 0 & 1-5 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { - { \left( 2-3 { \mathrm i} \right) } \det \begin{pmatrix} 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 1-5 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} {{ \left( - 2+3 { \mathrm i} \right) } { \left( { \left( 3-4 { \mathrm i} \right) } { \left( -4- { \mathrm i} \right) } - 2 { \mathrm i} { \left( 1-5 { \mathrm i} \right) } \right) }
}
{ =} {{ \left( - 2+3 { \mathrm i} \right) } { \left( -16 +13 { \mathrm i} - 2 { \mathrm i} -10 \right) }
}
{ =} {{ \left( - 2+3 { \mathrm i} \right) } { \left( -26 +11 { \mathrm i} \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 19 -100 { \mathrm i}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
für $\varphi$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die lineare Abbildung
\mathdisp {\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi} { }
nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
\zusatzklammer {und nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist
\zusatzklammer {wegen
Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))} {} {.}
Dies ist nach
Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} ( \lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
}