Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/31/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {Betrag} {} einer reellen Zahl.
}{Die \stichwort {eulersche Zahl} {} $e$.
}{Die \stichwort {Taylor-Reihe} {} im Punkt $a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $f$.
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das Induktionsprinzip für Aussagen.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{
Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge $20$ cm und mit einem Durchmesser von $3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke $0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe $2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke
\mathl{0,5}{} mm.
\aufzaehlungdrei{Wer verwendet mehr Butter?
}{Wie viel Butter verwendet Lucy?
}{Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine
\mathl{250}{} Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben.
\anfuehrung{Es sei $A(n)$ die Aussage, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt
\mathl{n+1}{} Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden $n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese
\mathl{n+1}{} Pferde überhaupt die gleiche Farbe}{.} Analysiere diese Argumentation.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ die
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
Elemente, also Polynome $P$, für die es ein weiteres Polynom $Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{PQ
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3-5x^2-x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(-2) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
b) Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+2+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {x^4-x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Nullstellen der Funktion.
}{Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
}{Bestimme die Extrema der Funktion.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $2$ zur \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ x^2+6x+1 }{ 4x +4 } } } {,} im Entwicklungspunkt $1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^2 \ln x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
-4 y &
+2 z &
+5 w & = & 12 \\ x &
+5 y &
+7 z &
+ w & = & 1 \\ &
+ y &
+ z &
+2 w & = & 3 \\ &
+3 y &
+2 z &
+ w & = & 2 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $K^4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}