Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/32/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.
}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von reellen Zahlen $a_k$.
}{Der \stichwort {Arkuskosinus} {.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Die \stichwort {transponierte Matrix} {} zu einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix $M=(a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Quadratwurzel von $2$.}{Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.}{Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^5 + 11^4
}
{ =} { 122^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Was fällt an dem folgenden Satz auf \zusatzklammer {aus der Sendung Börse vor acht, 2020} {} {:} \anfuehrung{Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um $70 \%$ steigern}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ cm. Die Flaschenöffnung hat einen \zusatzklammer {inneren} {} {} Durchmesser von $2$ cm und die Flasche hat einen Durchmesser von $6$ cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht \zusatzklammer {gemessen in Zentimetern} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man entwerfe ein Computer-Programm
\zusatzklammer {Pseudocode} {} {,}
das zu einer vorgegebenen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entscheidet, ob $n$ eine Primzahl ist oder nicht.
\auflistungsieben{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
}{Er kann einen Speicher leeren.
}{Er kann einen Speicherinhalt um $1$ erhöhen.
}{Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.
}{Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl wechseln.
}{Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
}{Es gibt einen Haltebefehl.
}
Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(n,0,0,0,0,0,0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Programm soll \anfuehrung{$n$ ist eine Primzahl}{} oder \anfuehrung{$n$ ist keine Primzahl}{} ausdrucken und anschließend anhalten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Zeige, dass zwischen den
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathl{\binom { n } { k }}{} und
\mathl{\binom { n } { k+1 }}{} der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\binom { n } { k+1 }
}
{ =} {\binom { n } { k } \cdot { \frac{ n-k }{ k+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 2xe^{3x}
} {.}
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} { { \left( 3^n \cdot 2 x + 3^{n-1} \cdot 2 n \right) } e^{3x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{
Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf $\R_{\geq 0}$ und den um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} { \sqrt{x} +d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
} {Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen
\zusatzklammer {bei geeignetem $d$} {} {}
beliebig groß werden kann.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Finde die Punkte
\zusatzklammer {bzw. den Punkt} {} {}
$a \in [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]$ derart, dass die Steigung der Sinusfunktion
\mathl{\operatorname{sin}}{} in $a$ gleich der Gesamtsteigung von
\mathl{\operatorname{sin}}{} zwischen
\mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ \pi }{ 2 } }} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {( \ln ( 1+ \sin x ) ) \cdot \sin x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 0 & -1 & -3 \\ 7 & 3 & 0 & -7 \\ 6 & 5 & -3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(5) \,\, \, 1u = u} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}