Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/33/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Gaußklammer} {} einer reellen Zahl $x$.
}{Eine \stichwort {streng fallende} {} Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt $a \in \R$.
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.}{Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen
\mathl{x \mapsto x^\alpha}{.}}{Der
\stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: \anfuehrung{Das Prinzip \anfuehrung{Beweis durch Widerspruch}{} ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {0{,}00000029 \cdot 0{,}00000000037} { . }
Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{k = 1}^n { \frac{ 1 }{ k(k+1) } }
}
{ =} { { \frac{ n }{ n+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(x+ { \mathrm i} y)^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kleinsten Grades, das an der Stelle
\mathl{3-8 { \mathrm i}}{} den Wert
\mathl{5-6 { \mathrm i}}{} und an der Stelle
\mathl{2-7 { \mathrm i}}{} den Wert
\mathl{4-3 { \mathrm i}}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad $4$,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { x^4+rx^3+sx^2+tx+u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s,t,u
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { (x-a)^2(x-b)^2 +cx+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die \stichwort {Kettenregel} {} für differenzierbare Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $3$ der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin x \cos x } {,} im Entwicklungspunkt $\pi$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall
\mathl{[-5,3]}{} maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal
\mathl{0,001}{} cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 6x^5+25x^4-4x^3-18x^2+4x+8 }{ x^6+5x^5-x^4-6x^3+2x^2+8x+1 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x &
+2 y &
+ z &
-7 w & = & 3 \\ 6 x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\ x &
+ y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 0 \\ 3 x &
+5 y &
-7 z &
+14 w & = & 1 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $\R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 +3M -4 E_2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\2 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}