Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/35/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Eine \stichwort {streng wachsende} {} Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} in $\R$.
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit} {} einer
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} zu einer Funktion \maabb {f} {]a,b[} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Basis} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraums}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.}{Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.}{Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, \stichwort {alternierend} {} zu sein \zusatzklammer {mit Erläuterung} {} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+3)}
{
\aufzaehlungdrei{Löse das folgende Minisudoku
\mathdisp {\begin{pmatrix} - & - & 2 & - \\ 3 & - & - & 4 \\ - & - & - & - \\ - & 4 & - & 1 \end{pmatrix}} { . }
}{Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
}{Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien $A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{ B \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \setminus B
}
{ \subseteq }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \setminus C
}
{ \subseteq }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+3)}
{
Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck \zusatzklammer {analog zum Pascalschen Dreieck} {} {} führt. In der ersten Zeile steht zentral die $256$, links und rechts davon stehen unendlich viele $1$ \zusatzklammer {die nicht aufgeführt werden müssen} {} {.} Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das \definitionsverweis {geometrische Mittel}{}{} nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert. \aufzaehlungzwei {Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als $6$ sind. } {Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+2+2)}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom über einem Körper $K$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {aX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $F$ die $0$ als einzige Nullstelle besitzt.
}{Es sei
\mathl{F \in {\mathbb C}[X]}{} ein Polynom mit der Eigenschaft, dass $0$ die einzige komplexe Nullstelle von $F$ ist. Zeige, dass $F$ die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {aX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat.
}{Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom
\mathl{F\in \R[X]}{} mit der Eigenschaft, dass $0$ die einzige reelle Nullstelle von $F$ ist, dass $F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{a
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gebe ein $N$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n+1} - x_n }
}
{ \leq} { a^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2-3 }{ x+2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y+4 }{ y^2-5 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $h$
\zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
}{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der
Kettenregel.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = xe^{x}
} {.}
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} { { \left( x+n \right) } e^{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Ein Dreieck soll die Grundseite
\mathl{[0,s]}{} und die Höhe $h$ besitzen
\zusatzklammer {\mathlk{s,h >0}{}} {} {.}
Für welchen Höhenfußpunkt $x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Begründe den Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_1^{ab} { \frac{ 1 }{ x } } dx
}
{ =} { \int_1^{a} { \frac{ 1 }{ x } } dx + \int_1^{b} { \frac{ 1 }{ x } } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{a,b \in \R_+}{} allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 3 \\ -2 & 7 & -6 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 8 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}