Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Ein \stichwort {isoliertes} {} lokales Minimum einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Der \stichwort {Arkussinus} {.}
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Die \stichwort {Regel von l'Hospital} {.}}{Der Satz über die Multilinearität der Determinante \zusatzklammer {mit Erläuterung} {} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
In Beweisen findet man häufig die Formulierung \anfuehrung{Wir nehmen (jetzt, also) an}{.} Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (0.5+0.5+0.5+0.5)}
{
Wir betrachten die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $i$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $a_i$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {4} {-1} {3} }
{\mazeileunddrei {5} {-2} {2} }
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathl{a_2+a_5}{.}
}{Berechne
\mathl{\sum_{k = 3}^6 a_k}{.}
}{Berechne
\mathl{\prod_{i = 0}^3 a_{2i+1}}{.}
}{Berechne
\mathl{\sum_{i = 4}^5 a^2_{i}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{ i = 0}^ {n} (-1)^{i} \binom { n } { i } 2^i
}
{ =} { (-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente aus $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a-b } } + { \frac{ 1 }{ a+b } }
}
{ \geq} { { \frac{ 2 }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr
\mathl{7:21}{}
\zusatzklammer {die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe} {} {.}
Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie
\mathl{7:26}{} an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathdisp {f(x) =ax^2 +bx +c, \, a \neq 0} { , }
ein reelles Polynom vom Grad $2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Definiere die Funktion
\maabbeledisp {} { [-1,1] } { \R
} { x } { f(x)
} {,}
deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Radius $1$ ist.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{}
vom Grad $3$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Aussage: Es sei $\lambda$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zur
\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ =} { d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beweis: Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert $\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_nx_n
}
{ =} { \lambda x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $x$ als Eigenvektor von $0$ verschiedenen sein muss, kann man durch $x_n$ dividieren und erhält
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} }{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit
\definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur reellen
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}