Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Ein \stichwort {isoliertes} {} lokales Minimum einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Der \stichwort {Arkussinus} {.}
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \times M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x \in L,\, y \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Produktmenge der Mengen
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i}
} {,}
heißt komplexe Konjugation.
}{Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen
\mathl{\epsilon >0}{} ein $n_0 \in \N$ derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x_n }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \neq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ <} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Der Arkussinus
\maabbeledisp {} {[-1,1]} {[ - { \frac{ \pi }{ 2 } } ,{ \frac{ \pi }{ 2 } } ]
} {x} { \arcsin x
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{.}
}{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Die \stichwort {Regel von l'Hospital} {.}}{Der Satz über die Multilinearität der Determinante \zusatzklammer {mit Erläuterung} {} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
$d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes Intervall und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es seien
\maabbdisp {f,g} {I} {\R
} {}
stetige Funktionen,
die auf
\mathl{I \setminus \{ a \}}{}
differenzierbar seien mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( a )
}
{ = }{ g( a )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ \defeq} { \operatorname{lim}_{ x \in I \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{f'(x)}{g'(x)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in I \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{g(x)}} { , }
und sein Wert ist ebenfalls $w$.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.}
Dann ist die Determinante
\maabbeledisp {} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
multilinear. D.h., dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{{ \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für je
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,w
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u+w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\w\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
In Beweisen findet man häufig die Formulierung \anfuehrung{Wir nehmen (jetzt, also) an}{.} Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?
}
{Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (0.5+0.5+0.5+0.5)}
{
Wir betrachten die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $i$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $a_i$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {4} {-1} {3} }
{\mazeileunddrei {5} {-2} {2} }
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathl{a_2+a_5}{.}
}{Berechne
\mathl{\sum_{k = 3}^6 a_k}{.}
}{Berechne
\mathl{\prod_{i = 0}^3 a_{2i+1}}{.}
}{Berechne
\mathl{\sum_{i = 4}^5 a^2_{i}}{.}
}
}
{
Es ist
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_2+a_5
}
{ =} {5+3
}
{ =} {8
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{k = 3}^6 a_k
}
{ =} {4-1+3+5
}
{ =} {11
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i = 0}^3 a_{2i+1}
}
{ =} { a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 \cdot a_7
}
{ =} { 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot (-2)
}
{ =} { -48
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 4}^5 a^2_{i}
}
{ =} {(-1)^2+ 3^2
}
{ =} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{
Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine Primzahl vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit kleineren Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{ i = 0}^ {n} (-1)^{i} \binom { n } { i } 2^i
}
{ =} { (-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Der Induktionsanfang bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{ i = 0}^ {n+1} (-1)^{i} \binom { n+1 } { i } 2^i
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^ {n+1} (-1)^{i} { \left( \binom { n } { i } + \binom { n } { i-1 } \right) } 2^i
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^ {n} (-1)^{i} \binom { n } { i } 2^i + \sum_{ i = 1}^{n+1} (-1)^{i} \binom { n } { i-1 } 2^i
}
{ =} {(-1)^{n} -2 \cdot \sum_{ i = 1}^{n+1} (-1)^{i-1} \binom { n } { i-1 } 2^{i-1}
}
{ =} {(-1)^{n} -2 \cdot \sum_{ j = 0}^{n} (-1)^{j} \binom { n } { j } 2^j
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n} -2 (-1)^n
}
{ =} { (-1)^ {n+1}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{
Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit verschiedenen $a_i$ und führen Induktion über den Grad $d=\sum_{j=1}^r n_j$ von $P$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms $Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {QT
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(a_1) \cdot Q(a_1)
}
{ =} { P(a_1)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt
\mathkor {} {T(a_1) = 0} {oder} {Q(a_1) = 0} {.}
Nach
Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
bedeutet dies, dass
\mathkor {} {T} {oder} {Q} {}
von $X-a_1$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} {(X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T Q' (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T Q'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir können auf $P'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} {T' (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { (X-a_1) T' Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T' Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $P'$ bedeutet, dass $T'$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus $P'$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von $P'$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu
\mathl{X-a_j}{} in $P$ und in $P'$ für
\mathl{j \geq 2}{} übereinstimmen und die Vielfachheit von
\mathl{X-a_1}{} sich um $1$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von $T$ nach $T'$ zutrifft, folgt die Aussage.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente aus $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a-b } } + { \frac{ 1 }{ a+b } }
}
{ \geq} { { \frac{ 2 }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1 }{ a-b } } + { \frac{ 1 }{ a+b } }
}
{ =} { { \frac{ a+b }{ (a-b)(a+b) } } + { \frac{ a-b }{ (a-b)(a+b) } }
}
{ =} { { \frac{ 2a }{ (a-b)(a+b) } }
}
{ =} { { \frac{ 2a }{ a^2-b^2 } }
}
{ \geq} { { \frac{ 2a }{ a^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 2 }{ a } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2-b^2
}
{ \leq }{a^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Da der Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} nicht $0$ ist, gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \geq }{ { \frac{ \betrag { x } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ \betrag { x_n } }
}
{ \leq} { \frac{2}{ \betrag { x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $N_2$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \frac{\epsilon \betrag { x }^2}{2} \text { für alle } n \geq N_2} { . }
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max \{N_1, N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} }
}
{ =} { \betrag { \frac{x_n-x}{x x_n} }
}
{ =} { \frac{1}{\betrag { x } \betrag { x_n }} \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \frac{2}{\betrag { x }^2} \cdot \frac{ \epsilon \betrag { x }^2}{2}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr
\mathl{7:21}{}
\zusatzklammer {die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe} {} {.}
Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie
\mathl{7:26}{} an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.
}
{
Wir messen die Zeit in Minuten nach $7$ Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl
\mathl{a \in [21,22[}{,} der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon
\mathl{7:22}{} anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch
\mathl{b \in [26,27[}{} beschrieben. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{21
}
{ \leq} {a
}
{ <} {22
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{26
}
{ \leq} {b
}
{ <} {27
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b-a
}
{ >} { 26 - 22
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich $4$ ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b-a
}
{ <} { 27 - 21
}
{ =} {6
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt. Das Supremum ist also $6$ und das Maximum existiert nicht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{
Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
\mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,}
betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.}
Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt *****
definierte
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) }
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathdisp {f(x) =ax^2 +bx +c, \, a \neq 0} { , }
ein reelles Polynom vom Grad $2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.
}
{
Die Tangente zu
\mathl{x_0 \in {\mathbb K}}{} wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t(x)
}
{ =} {f'(x_0) x + f(x_0) -f'(x_0) x_0
}
{ =} { f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Der Punkt
\mathl{(x_0, f(x_0))}{} gehört zum Graphen und zur Tangente; wir müssen zeigen, dass kein weiterer Punkt zum Durchschnitt gehört. Nehmen wir an, es gäbe einen weiteren Punkt
\mathl{x_1 \neq x_0}{} mit
\mathl{f(x_1)= t(x_1)}{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax_1^2+bx_1 + c
}
{ =} { (2 a x_0 +b ) (x_1-x_0) + ax_0^2 +bx_0 + c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a(x_1^2-x_0^2)+b(x_1-x_0)
}
{ =} { (2 a x_0 +b ) (x_1-x_0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Division durch
\mathl{x_1-x_0 \neq 0}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a (x_1+x_0) +b
}
{ =} { 2 a x_0 +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daraus erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a x_1
}
{ =} { a x_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{a \neq 0}{} folgt der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ =} { x_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Definiere die Funktion
\maabbeledisp {} { [-1,1] } { \R
} { x } { f(x)
} {,}
deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Radius $1$ ist.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{}
vom Grad $3$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $0$.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Aus der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sqrt{1-x^2}
}
{ \defeqr} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Die Ableitung von $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 1-x^2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot (-2x)
}
{ =} { - x { \left( 1-x^2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { - { \left( 1-x^2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - x^2 { \left( 1-x^2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{ \prime \prime} (0)
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $f$ eine gerade Funktion ist, ist die dritte Ableitung ungerade und deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime} (0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Taylorpolynom vom Grad $3$ ist somit
\mathdisp {1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }
}
{
Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {\sqrt[3]{5x+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Umkehrfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ y^3-1 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{dx
}
{ =} { { \frac{ 3y^2 }{ 5 } } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1 } }} dx
}
{ =} {\int_1^{ \sqrt[3]{6} } { \frac{ { \frac{ y^3-1 }{ 5 } } }{ y } } \cdot { \frac{ 3y^2 }{ 5 } } dy
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } \int_1^{ \sqrt[3]{6} } y^4 - y dy
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } [ { \frac{ 1 }{ 5 } } y^5 - { \frac{ 1 }{ 2 } } y^2 ]_1^{ \sqrt[3]{6} }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } { \left( { \frac{ 1 }{ 5 } } { \sqrt[3]{6} }^5 - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \sqrt[3]{6} }^2 - { \frac{ 1 }{ 5 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 125 } } 6^{ { \frac{ 5 }{ 3 } } } - { \frac{ 3 }{ 50 } } 6^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }+ { \frac{ 9 }{ 250 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
}
{Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Nach
dem Interpolationssatz
kann man jede Abbildung
\maabbdisp {f} {K} {K
} {}
eindeutig als ein Polynom vom Grad
\mathl{< q}{} schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen
\mathl{x \mapsto x^d}{} linear unabhängig.
} {Wir betrachten die
\mathl{q \times q}{-}Matrix
\mathdisp {(b^d)_{0 \leq b,d \leq q-1}} { . }
In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte
\zusatzklammer {eine vollständige Wertetabelle} {} {}
von $x^d$
\zusatzklammer {an den Stellen $b$} {} {.}
Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$
\zusatzklammer {an den Stellen $d$} {} {.}
Nach
Korollar 26.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Aussage: Es sei $\lambda$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zur
\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ =} { d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beweis: Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert $\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_nx_n
}
{ =} { \lambda x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $x$ als Eigenvektor von $0$ verschiedenen sein muss, kann man durch $x_n$ dividieren und erhält
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} }{}
}
{
Es ist zwar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dies bedeutet aber nur, dass mindestens eine Komponente nicht $0$ ist. Der letzte Eintrag kann $0$ sein, und dann kann man die behauptete Division nicht durchführen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit
\definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur reellen
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} x & -1 & -1 \\ -1 & x & 0 \\-1 & 0 & x \end{pmatrix}
}
{ =} { x^3 - x -x
}
{ =} { x^3 -2x
}
{ =} { x(x^2 -2)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind $0$, $\sqrt{2}$ und $- \sqrt{2}$ die Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit $1$. Der Eigenraum zu $0$ ist der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{,} dieser ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix}} { . }
Der Eigenraum zu $\sqrt{2}$ ist der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} \sqrt{2} & -1 & -1 \\ -1 & \sqrt{2} & 0 \\-1 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}}{,} dieser ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 2 \\\sqrt{2}\\ \sqrt{2} \end{pmatrix}} { . }
Der Eigenraum zu $-\sqrt{2}$ ist der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} -\sqrt{2} & -1 & -1 \\ -1 & -\sqrt{2} & 0 \\-1 & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}}{,} dieser ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 2 \\-\sqrt{2}\\ -\sqrt{2} \end{pmatrix}} { . }
}