Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/37/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} \zusatzklammer {in einer Variablen über $\R$} {} {.}
}{Das
\stichwort {Minimum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Die \stichwort {höheren Ableitungen} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {rekursive Definition} {} {.}
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.}{Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien $n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $n$} {} {} für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Wir definieren die Folge
\zusatzklammer {der sogenannten Bernoulli-Zahlen} {} {}
\mathbed {B_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch die rekursive Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 0}^n \binom { n+1 } { j } B_j
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne $B_1$.
}{Berechne $B_2$.
}{Berechne $B_3$.
}{Berechne $B_4$.
}{Zeige, dass alle $B_n$
\definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{}
sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^a
} {,}
und
\maabbeledisp {g} {\R} {\R
} {x} {x^b
} {,}
die zugehörigen Potenzfunktionen. Bestimme
\mathl{f \cdot g}{,}
\mathl{f \circ g}{} und
\mathl{g \circ f}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ \ln \left( x^2+3 \right) - x \sqrt{x^2+ 2} }{ 1 +\sin^{ 2 } x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} {\sin x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Entscheide, ob
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R_+
} {x} {f(x)
} {,}
eine differenzierbare Funktion mit
\mathl{f(0)=1}{} und mit
\mathl{f'(x)= \lambda f(x)}{} für alle
\mathl{x \in \R}{} und ein
\mathl{\lambda \in \R}{.} Zeige, dass $f$ die Funktionalgleichung
\mathdisp {f(x+y) = f(x) \cdot f(y)} { }
für alle
\mathl{x,y \in \R}{} erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+4)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $1$.
} {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} { \sqrt{y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_0 + b_1(y-1) +b_2 (y-1)^2 + \ldots
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty b_k (y-1)^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Taylorreihe zu $g$ im Entwicklungspunkt $1$. Bestimme die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{} aus der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(f(x) )
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathdisp {\cos \left( \cos \left( \sin x \right) \right) \cdot \sin \left( \sin x \right) \cdot \cos x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 9 }{ 4 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 50 }{ 3 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 2 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$. Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+0.5+0.5)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }} { }
ist ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $V$.
}{$\lambda$ ist genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$, wenn der Eigenraum $\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }$ nicht der
\definitionsverweis {Nullraum}{}{}
ist.
}{Ein Vektor
\mathl{v \in V, \, v \neq 0}{,} ist genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $\lambda$, wenn $v \in \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }$ ist.
}
}
{} {}