Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/38/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Der \stichwort {Betrag} {} einer komplexen Zahl
\mathl{z=a+b { \mathrm i}}{.}
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
\mathl{x,y \in L}{} auch
\mathl{f(x)}{} und
\mathl{f(y)}{} verschieden sind.
}{Der Betrag einer komplexen Zahl
\mathl{z=a+b { \mathrm i}}{} ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} { \sqrt{a^2+b^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Man sagt, dass $f$
stetig
im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)- f(x') }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ableitung $f'(a)$ zuordnet.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}{Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} {E_{ n }
}
{ =} {M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.}{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} zwei Polynome mit
\mathl{T \neq 0}{.} Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mathl{Q,R \in K[X]}{} mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R = 0} { . }
}{Die Sinusfunktion
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { \sin x
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( x)
}
{ =} { \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Kosinusfunktion
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { \cos x
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( x )
}
{ =} { - \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale $K$-Vektor\-räume. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ u }} {}
Basen von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
Basen von $W$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {}
durch die Matrix
\mathl{M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi)}{} beschrieben werde. Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
durch die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ ( M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { }
beschrieben, wobei
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {nach} {\mathfrak{ u }} {}
und von
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {nach} {\mathfrak{ z }} {}
beschreiben.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt \anfuehrung{Bitte nicht gleichzeitig sprechen}{.} Bringe diese Aussage mit dem Konzept von \definitionsverweis {disjunkten Mengen}{}{} in Verbindung.
}
{
Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ \Z \times \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {$(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
} {Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ 129 }{ 100 } } \right) }^3 +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 146 689 }{ 1000000 } } \right) } - { \left( { \frac{ 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} {{ \left( { \frac{ 146 689 - 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ - 2 000000 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { -2+2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 33 } } }{.}
}
{
Es ist
\mathdisp {-4 = - { \frac{ 132 }{ 33 } }} { }
und
\mathdisp {-5 = - { \frac{ 165 }{ 33 } }} { , }
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -5
}
{ \leq} { - { \frac{ 133 }{ 33 } }
}
{ <} { -4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor - { \frac{ 133 }{ 33 } } \right \rfloor
}
{ =} { -5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ { \frac{ 1 }{ 9 } } X^6 + X^2 +X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^6$.
}
{
Der Grad ist $9$, der Leitkoeffizient ist $-6$, der Leitterm ist
\mathl{-6 X^{9}}{} und der Koeffizient zu $X^6$ ist ${ \frac{ 1 }{ 9 } }$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass eine konvergente reelle Folge beschränkt ist.
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen $x$ konvergente Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (1) erfüllt und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $\R$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_n,x)
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
\mathdisp {d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0} { , }
so dass die Bildfolge gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert
\mathl{f(z)}{} unter der Abbildung aber zu
\mathl{f(x)}{} einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.}
D.h. für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon} { . }
Diese so konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
\mathl{f(x)}{,} da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
\mathl{f(x)}{} zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln (x+1) }{ \sin \left( 2 x \right) } }} { . }
}
{
Wir verwenden die
Regel von Hospital.
Die Ableitung der Zählerfunktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \ln (x+1) \right) } '
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem Wert $1$ für
\mathl{x=0}{} und die Ableitung der Nennerfunktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sin 2x \right) }'
}
{ =} { 2 \cos 2x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem Wert $2$ für
\mathl{x=0}{.} Daher ist Hospital anwendbar und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln (x+1) }{ \sin 2x } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ { \frac{ 1 }{ x+1 } } }{ 2 \cos 2x } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {e^x } {,} keine rationale Funktion ist.
}
{
Nehmen wir an, es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^x
}
{ =} { { \frac{ P }{ Q } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Polynomen
\mathl{P,Q \in \R[X]}{,}
\mathl{Q \neq 0}{.} Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Es muss also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ P }{ Q } } \right) }'
}
{ =} { { \frac{ P'Q-PQ' }{ Q^2 } }
}
{ =} { { \frac{ P }{ Q } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten. Damit ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P'Q-PQ'
}
{ =} { PQ
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Es sei
\mathl{d= \operatorname{grad} \, (P)}{}
\zusatzklammer {
\mathl{P=0}{} ist nicht möglich} {} {}
und
\mathl{e= \operatorname{grad} \, (Q)}{.} Beim Ableiten reduziert sich der Grad eines Polynoms um $1$. Der Grad rechts ist somit $d+e$ und links
\mathl{\leq d+e-1}{,} es liegt also ein Widerspruch vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.
}
{
Der Abstand der beiden Punkte ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \sqrt{ 1^2 +6^2}
}
{ =} { \sqrt{37}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Kreisgleichung ist somit
\mathdisp {(X+5)^2 + (Y-5)^2= 37} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { -3x + x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {-3+3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Funktion auf dem offen Intervall
\mathl{]-1,1[}{} streng fallend und damit injektiv
\zusatzklammer {mit dem Bildintervall
\mathl{]-2,2 [}{}} {} {.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g(f(x))
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{.}
}
{
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {f(x)
}
{ =} { -3x + x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
wird die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(f(x) )
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausgeschrieben zu
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sum_{k = 0}^\infty b_k (-3x + x^3)^k
}
{ =} { b_0 +b_1 (-3x + x^3) +b_2 (-3x + x^3)^2 +b_3 (-3x + x^3)^3 +b_4 (-3x + x^3)^4 + \ldots
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daraus können die $b_k$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\zusatzklammer {Koeffizient vor $x$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3b_1
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\zusatzklammer {Koeffizient vor $x^2$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9b_2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\zusatzklammer {Koeffizient vor $x^3$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_1 -27 b_3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 81 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\zusatzklammer {Koeffizient vor $x^4$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -6b_2 + 81 b_4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion
\mathdisp {f(x)= 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^x} { }
die Extrema.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f(x)
}
{ =} { 2^x + 3^{-x}
}
{ =} { e^{x \ln 2 } +e^{ - x \ln 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { ( \ln 2 ) e^{x \ln 2 } - ( \ln 3) e^{ - x \ln 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
führt durch Multiplikation mit
\mathl{e^{x \ln 3 }}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { ( \ln 2) e^{ x ( \ln 2 + \ln 3 ) } - \ln 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ x \ln 6 }
}
{ =} { { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \ln 6
}
{ =} { \ln { \left( { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ \ln { \left( { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } \right) } }{ \ln 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { ( \ln 2 )^2 e^{x \ln 2 } + ( \ln 3)^2 e^{ - x \ln 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
mit
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=0} { }
für jede stetige Funktion
\maabb {g} {[a,b]} {\R_{\geq 0}
} {.}
Zeige $f=0$.
}
{
Nehmen wir an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $f$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall
\mathl{J=[d,e] \subseteq [a,b]}{} mit $f(x) \geq { \frac{ f(c) }{ 2 } }$ für alle
\mathl{x \in J}{.} Die Funktion $g$ sei außerhalb von
\mathl{J}{} die Nullfunktion und auf
\mathl{J}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { - (x-d)(x-e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Die Funktion $g$ ist stetig auf
\mathl{[a,b]}{} und im Innern von
\mathl{[d,e]}{} positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall
\mathl{J'=[s,t] \subseteq J}{} derart, dass
\mathl{g(x) \geq { \frac{ g( { \frac{ d+e }{ 2 } } ) }{ 2 } }}{} für alle
\mathl{x \in J'}{} ist. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_a^b f(x) g(x)dx
}
{ =} {\int_d^e f(x) g(x) dx
}
{ \geq} { \int_s^t f(x) g(x) dx
}
{ \geq} {(t-s) { \frac{ f(c) }{ 2 } } { \frac{ g( { \frac{ d+e }{ 2 } } ) }{ 2 } }
}
{ >} {0
}
}
{}
{}{}
im Widerspruch zur Voraussetzung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \leq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineares Ungleichungssystem.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lineares Ungleichungssystem.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
a) Wir lösen jeweils nach $y$ auf und erhalten die vier Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} { -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ \geq} { x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.
b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen
\zusatzklammer {die zu den Ungleichungen gehören} {} {}
gegeben sind. Diese sind
\mathdisp {(0,0),\, \left( 0 , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } \right), \, \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) ,\, \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 4$ mit der Basis
\mathbeddisp {x^i} {}
{0 \leq i \leq 4} {}
{} {} {} {.}
Erstelle für die Ableitungsabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {P} {P'
} {,}
die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
}
{
Die Ableitung schickt die Basiselemente auf
\mathdisp {x^0=1 \mapsto 0,\, x^1 \mapsto 1,\, x^2 \mapsto 2x,\, x^3 \mapsto 3x^2,\, x^4 \mapsto 4x^3} { . }
Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad $\leq 3$. Dieser Untervektorraum
besitzt die Basis
\mathl{x^0,x^1,x^2,x^3}{} und hat demnach die Dimension $4$.
Der Kern besteht aus den konstanten Polynomen mit der Basis $x^0$, dieser Unterraum ist also eindimensional.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet ausgeschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xa+yc
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xb +yd
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ za +wc
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ zb+wd
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,c)
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(b,d)
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus der zweiten Gleichung folgt nach
Fakt *****,
dass es ein
\mathl{s \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {sd
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {-sb
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { sda-sbc
}
{ =} { s(da-bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ d }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ b }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein
\mathl{t \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {tc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} {-ta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der vierten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { tcb - tad
}
{ =} { -t (da-bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { - { \frac{ c }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ a }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ d }{ da-bc } } & - { \frac{ b }{ da-bc } } \\ - { \frac{ c }{ da-bc } } & { \frac{ a }{ da-bc } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-cd & -cb +da \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -cb +da \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als $n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der $0$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1v_1 + \cdots + a_nv_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wenden darauf $\varphi$ an und erhalten einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1 \varphi(v_1) + \cdots + a_n \varphi(v_n)
}
{ =} { \lambda_1 a_1v_1 + \cdots + \lambda_n a_nv_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit $\lambda_{n}$ und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_n a_1v_1 + \cdots + \lambda_n a_nv_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda_{n} - \lambda_1) a_1v_1 + \cdots + (\lambda_{n} - \lambda_{n-1}) a_{n-1} v_{n-1}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten
\mathbed {(\lambda_n - \lambda_i)a_i=0} {}
{i = 1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
sein müssen. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_n - \lambda_i
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mathbed {a_i=0} {für}
{i = 1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}