Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Eine \stichwort {Folge} {} reeller Zahlen.
}{Das \stichwort {Cauchy-Produkt} {} zu zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} \mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {} \definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{.}
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Integralfunktion} {}
zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Produktregel} {} für reelle Folgen.}{Der \stichwort {zweite Mittelwertsatz} {} der Differentialrechnung.}{Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {w} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {w} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {w} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {f} {f} {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Fallunterscheidung} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{
Es seien
\mathl{M_1 , \ldots , M_k}{} und
\mathl{N_1 , \ldots , N_k}{} nichtleere Mengen und
\maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {N_i
} {}
Abbildungen für
\mathl{i= 1 , \ldots , k}{.} Es sei
\mathl{M=M_1 \times \cdots \times M_k}{,}
\mathl{N=N_1 \times \cdots \times N_k}{,} und $\varphi$ die Produktabbildung, also
\maabbeledisp {\varphi} {M} {N
} {(x_1 , \ldots , x_k)} { ( \varphi_1(x_1) , \ldots , \varphi_k(x_k) )
} {.}
a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi_i$ surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde eine natürliche Zahl $n$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 8 }{ 7 } } \right) }^n
}
{ \geq} { 1000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die ganzzahligen Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \,\, { \frac{ 3 }{ x } } \,\, }{ \,\, { \frac{ -7 }{ 4 } } \,\, } }
}
{ >} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 3 }{ 7 } } \sqrt{3} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \sqrt{3} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in $\R$ eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne
\mathl{f^k}{} die $k$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $f$ mit sich selbst.
\aufzaehlungzwei {Sei $k$ fixiert. Zeige, dass die Folge
\mathbed {f^k(x_n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Nullfolge ist.
} {Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge
\mathbed {f^n(x_n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
keine Nullfolge sein muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3 -6x^2 +9x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinus}{}{-} und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass für
\mathbed {x \in \R} {}
{x \geq 1} {}
{} {} {} {,}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \, \operatorname{arcosh} \, x \,
}
{ =} { \ln { \left( x+\sqrt{x^2-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+4+2)}
{
Wir betrachten die Sinusfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{} und den oberen Halbkreis
\zusatzklammer {mit Radius ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$} {} {}
oberhalb dieses Intervalls.
\aufzaehlungdrei{Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion
\mathl{g(x)}{.}
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \geq} {f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0, \pi]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Tipp: Betrachte die Situation für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/6
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi/6
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, wenn die Spalten der Matrix
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
in $K^m$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
quadratische Matrizen über einem Körper $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( B \circ A \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit.
}
{} {}