Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Eine \stichwort {Folge} {} reeller Zahlen.
}{Das \stichwort {Cauchy-Produkt} {} zu zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} \mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {} \definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{.}
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Integralfunktion} {}
zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes
\mathl{y \in M}{} mindestens ein Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{f(x)=y}{} gibt.
}{Eine reelle Folge ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\N} {\R
} {n} {x_n
} {.}
}{Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
ist die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k \defeq \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { . }
}{Zu
\mathbed {x \in \R} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
heißt die Zahl
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
der Differenzenquotient von $f$ zu
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
}{Die Funktion
\maabbeledisp {} {I} {\R
} {x} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
} {,}
heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
}{Ein Element
\mathl{\lambda \in K}{} heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} {\lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Produktregel} {} für reelle Folgen.}{Der \stichwort {zweite Mittelwertsatz} {} der Differentialrechnung.}{Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
konvergente Folgen in $\R$. Dann ist die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\mathl{b>a}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
stetige, auf
\mathl{]a,b[}{} differenzierbare Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in {]a,b[}}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(b)
}
{ \neq }{ g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gibt ein
\mathl{c \in {]a,b[}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
}
{ =} {\frac{f'(c)}{g'(c)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{\faktsituation {Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m$ $\times$ $n$-Matrix über $K$. Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.}
\faktfolgerung {}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {w} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {w} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {w} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {f} {f} {f} {f} {w} }
}
{
\mathdisp {p \leftrightarrow r} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Fallunterscheidung} {.}
}
{Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (3+2)}
{
Es seien
\mathl{M_1 , \ldots , M_k}{} und
\mathl{N_1 , \ldots , N_k}{} nichtleere Mengen und
\maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {N_i
} {}
Abbildungen für
\mathl{i= 1 , \ldots , k}{.} Es sei
\mathl{M=M_1 \times \cdots \times M_k}{,}
\mathl{N=N_1 \times \cdots \times N_k}{,} und $\varphi$ die Produktabbildung, also
\maabbeledisp {\varphi} {M} {N
} {(x_1 , \ldots , x_k)} { ( \varphi_1(x_1) , \ldots , \varphi_k(x_k) )
} {.}
a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi_i$ surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
}
{
a) Es seien alle $\varphi_i$ surjektiv und sei
\mathl{y=(y_1 , \ldots , y_k) \in N}{.} Zu jedem $i$ gibt es ein
\mathl{x_i \in M_i}{} mit
\mathl{\varphi(x_i) =y_i}{.} Daher ist
\mathl{x=(x_1 , \ldots , x_k)}{} ein Urbild von $y$ unter $\varphi$.
Es sei umgekehrt $\varphi$ surjektiv, und sei $y_i \in N_i$ gegeben. Da die $N_j$ alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein $a_j \in N_j$. Wir setzen
\mathdisp {y=(a_1 , \ldots , a_{i-1} , y_i, a_{i+1} , \ldots , a_k) \in N} { . }
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild $x \in M$. Für die $i$-te Komponente davon muss $\varphi_i(x_i)=y_i$ gelten.
b) Es sei $M_1=N_1= \emptyset$, sei $\varphi_1$ die leere Abbildung und seien
\mathl{M_2}{} und
\mathl{N_2}{} irgendwelche
\zusatzklammer {nichtleere} {} {}
Mengen und sei
\maabb {\varphi_2} {M_2} {N_2
} {}
eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist $M= \emptyset \times M_2 = \emptyset$ und $N= \emptyset \times N_2 = \emptyset$ und daher ist die Produktabbildung
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \varphi_2}{} ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle $\varphi_i$ surjektiv sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde eine natürliche Zahl $n$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 8 }{ 7 } } \right) }^n
}
{ \geq} { 1000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Man kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{7000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen. Es ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 8 }{ 7 } } \right) }^{7000}
}
{ =} { { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ 7 } } \right) }^{7000}
}
{ \geq} { 1 + 7000 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ =} { 1 +1000
}
{ \geq} { 1000
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme die ganzzahligen Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \,\, { \frac{ 3 }{ x } } \,\, }{ \,\, { \frac{ -7 }{ 4 } } \,\, } }
}
{ >} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \,\, { \frac{ 3 }{ x } } \,\, }{ \,\, { \frac{ -7 }{ 4 } } \,\, } }
}
{ =} { { \frac{ 12 }{ -7x } }
}
{ =} { { \frac{ -12 }{ 7x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei positivem $x$ führt die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ -12 }{ 7x } }
}
{ >} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -12
}
{ >} { -7x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{12
}
{ <} {7x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Für negatives $x$ schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $y$ positiv. Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ -12 }{ 7(-y) } }
}
{ >} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 12 }{ 7y } }
}
{ >} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ist für jedes
\zusatzklammer {positive} {} {}
$y$ erfüllt, da links eine positive rationale Zahl steht. Insgesamt ist die Ungleichung also für alle ganzen Zahlen $\neq 0,1$ erfüllt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 3 }{ 7 } } \sqrt{3} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \sqrt{3} \right) }} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 3 }{ 7 } } \sqrt{3} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \sqrt{3} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } - { \frac{ 4 }{ 15 } } \sqrt{3} - { \frac{ 3 }{ 28 } } \sqrt{3} + { \frac{ 2 }{ 7 } } \cdot \sqrt{3}^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } + { \frac{ 6 }{ 7 } } - { \left( { \frac{ 4 }{ 15 } } + { \frac{ 3 }{ 28 } } \right) } \sqrt{3}
}
{ =} { { \frac{ 7+60 }{ 70 } } - { \frac{ 112 + 45 }{ 420 } } \sqrt{3}
}
{ =} { { \frac{ 67 }{ 70 } } - { \frac{ 157 }{ 420 } } \sqrt{3}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in $\R$ eindeutig bestimmt ist.
}
{
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq }{ \betrag { x-y }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \defeq }{ d/3
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der
Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \betrag { x-y }
}
{ \leq} { \betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon+ \epsilon
}
{ =} { 2 d/3
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne
\mathl{f^k}{} die $k$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $f$ mit sich selbst.
\aufzaehlungzwei {Sei $k$ fixiert. Zeige, dass die Folge
\mathbed {f^k(x_n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Nullfolge ist.
} {Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge
\mathbed {f^n(x_n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
keine Nullfolge sein muss.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Als Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen ist nach
[[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
auch $f^k$ stetig. Nach
Fakt *****
konvergiert auch die Bildfolge, und zwar wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $0$. Somit ist $f^k(x_n)$ eine Nullfolge.
} {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dies ist eine Nullfolge, und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^k(x)
}
{ =} { 2^k x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^n(x_n)
}
{ =} { 2^n \cdot { \frac{ 1 }{ 2^n } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also die konstante Folge mit dem Wert $1$ und keine Nullfolge.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3 -6x^2 +9x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { 3x^2 -12x+9
}
{ =} { 3(x^2-4x+3)
}
{ =} { 3( (x-2)^2 -1)
}
{ =} { 3 (x-1 )(x-3)
}
}
{}{}{.}
Die Ableitung hat also bei
\mathl{x=1}{} und bei
\mathl{x=3}{} eine Nullstelle. Wegen
\mathl{f^{\prime \prime}(x) = 6x-12}{} liegt bei
\mathl{x=1}{} ein lokales Maximum mit dem Wert
\mathl{f(1)= 5}{} und bei
\mathl{x=3}{} ein lokales Minimum mit dem Wert
\mathl{f(3)=27-54+27+1=1}{} vor. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $8$. Der Flächeninhalt des Teilbereichs des Rechteckes unterhalb des Graphen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_1^3 x^3-6x^2+9x+ 1 dx -2
}
{ =} { [{ \frac{ 1 }{ 4 } } x^4- 2x^3+{ \frac{ 9 }{ 2 } }x^2 +x ]_1^3 -2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } 81 - 2 \cdot 27 +{ \frac{ 81 }{ 2 } } +3 - { \frac{ 1 }{ 4 } }+ 2-{ \frac{ 9 }{ 2 } }-1 -2
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } } 81 - 54 +3 - { \frac{ 19 }{ 4 } }+ 1 -2
}
{ =} { { \frac{ 243-19 }{ 4 } } -50 -2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 4
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Der Flächeninhalt des Teilbereichs des Rechteckes oberhalb des Graphen ist ebenfalls $4$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinus}{}{-} und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))} {} {.}
}
{
Nach
Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sin x \right) }'
}
{ =} { { \left( \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n+1} }{(2n +1 )!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n (2n+1) { \frac{ x^{2n} }{ (2n+1)! } }
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n { \frac{ x^{2n} }{ (2n)! } }
}
{ =} { \cos x
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \cos x \right) }'
}
{ =} { { \left( \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n (2n) { \frac{ x^{2n-1} }{ (2n)! } }
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n { \frac{ x^{2n-1} }{ (2n-1)! } }
}
{ =} { (-1) \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{(n-1)} { \frac{ x^{2n-1} }{ (2n-1)! } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1) \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k { \frac{ x^{2k+1} }{ (2k+1)! } }
}
{ =} { - \sin x
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir im vorletzten Schritt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gesetzt haben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass für
\mathbed {x \in \R} {}
{x \geq 1} {}
{} {} {} {,}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \, \operatorname{arcosh} \, x \,
}
{ =} { \ln { \left( x+\sqrt{x^2-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \cosh { \left( \ln { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^{ \ln { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) } }+ e^{- \ln { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) } + { \frac{ 1 }{ x+ \sqrt{x^2-1} } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \frac{ { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) }^2 +1 }{ x+ \sqrt{x^2-1} } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } { \frac{ x^2+ 2 x \sqrt{ x^2-1 } +x^2-1+1 }{ x+ \sqrt{x^2-1} } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ x^2+ x \sqrt{ x^2-1 } }{ x+ \sqrt{x^2-1} } }
}
{ =} {x
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Wir wenden die Umkehrfunktion
\mathl{\, \operatorname{arcosh} \, x \,}{} auf diese Gleichung an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) }
}
{ =} {\, \operatorname{arcosh} \, x \,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (2+4+2)}
{
Wir betrachten die Sinusfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{} und den oberen Halbkreis
\zusatzklammer {mit Radius ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$} {} {}
oberhalb dieses Intervalls.
\aufzaehlungdrei{Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion
\mathl{g(x)}{.}
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \geq} {f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0, \pi]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Tipp: Betrachte die Situation für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/6
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi/6
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt
\mathl{( \pi/2,0)}{} und dem Radius $\pi/2$. Für die Punkte
\mathl{(x,y)}{} auf dem Kreisbogen gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x - { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^2 +y^2
}
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ \pi^2 }{ 4 } } - { \left( x - { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^2 }
}
{ =} { \sqrt{ -x^2 +x \pi }
}
{ =} { \sqrt{ x( \pi -x) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{ x( \pi -x) }
}
{ \geq} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{} zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x( \pi -x)
}
{ \geq} { \sin^{ 2 } x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beide Funktionen sind auf
\mathl{[0, \pi/2]}{} streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert $0$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi/6
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x( \pi -x)
}
{ \geq} { { \frac{ \pi }{ 6 } } { \left( \pi - { \frac{ \pi }{ 6 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 6 } } \cdot { \frac{ 5 \pi }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 \pi^2 }{ 36 } }
}
{ >} { 1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \geq} { \sin^{ 2 } x
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ x
}
{ \leq }{ \pi/6
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( -x^2+ \pi x )'
}
{ =} {- 2x + \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \sin^{ 2 } x )'
}
{ =} { 2 \sin x \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im angegebenen Bereich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2x + \pi
}
{ \geq} { -2 { \frac{ \pi }{ 6 } } + \pi
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \pi
}
{ >} {2
}
{ \geq} { 2 \sin x \cos x
}
}
{}{}{,}
die Funktion $g^2$ wächst also schneller als
\mathl{\sin^{ 2 } x}{} und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
}{Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $\pi/2$, also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \pi \left( \frac{ \pi }{ 2 } \right)^2
}
{ =} { { \frac{ \pi^3 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_0^{\pi} \sin x dx
}
{ =} { - \cos x | _{ 0 } ^{ \pi }
}
{ =} { 1 +1
}
{ =} {2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich
\mathdisp {{ \frac{ \pi^3 }{ 8 } } -2} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}
{
Durch Umnummerieren kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{x_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen. Es sei $G$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax_1 + \sum_{i = 2}^n a_ix_i
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \neq 0}{}} {} {}
und $H$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ cx_1 + \sum_{i = 2}^n c_ix_i
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann hat die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H'
}
{ =} {H - { \frac{ c }{ a } } G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 2}^n { \left( c_i- { \frac{ c }{ a } } a_i \right) } x_i
}
{ =} { d -{ \frac{ c }{ a } } b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in der $x_1$ nicht mehr vorkommt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{H' + { \frac{ c }{ a } } G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Gleichungssysteme
\definitionsverweis {äquivalent}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, wenn die Spalten der Matrix
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
in $K^m$ sind.
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Basen von
\mathkor {} {V} {bzw.} {W} {}
und es seien
\mathl{s_1 , \ldots , s_n}{} die Spaltenvektoren von $M$.
Die Abbildung $\varphi$ hat die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } s_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{s_{ij}}{} der $i$-te Eintrag des $j$-ten Spaltenvektors ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } s_{ij } w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j s_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist genau dann $0$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j s_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist, und dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_js_j
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dafür gibt es ein nichttriviales
\zusatzklammer {Lösungs} {-} {}Tupel
\mathl{{ \left( a_1 , \ldots , a_n \right) }}{} genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn $\varphi$ nicht injektiv ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
quadratische Matrizen über einem Körper $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( B \circ A \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatzes
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \det B
}
{ =} { \det B \det A
}
{ =} { \det \left( B \circ A \right)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von diesem
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{,}
die wir durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-m}}{} zu einer Basis von $V$
ergänzen.
Bezüglich dieser Basis hat die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda E_m & B \\ 0 & C \end{pmatrix}} { . }
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist daher
nach Aufgabe 26.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gleich
\mathl{(X- \lambda)^m \cdot \chi_{ C }}{,} so dass die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
mindestens $m$ ist.
}