Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/40/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 9 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Die \stichwort {geometrische Reihe} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {Kotangens} {.}
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
}{Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen
\mathl{\epsilon >0}{} ein $n_0 \in \N$ derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x_n }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty x^k} { }
heißt die geometrische Reihe in $x$.
}{Die Funktion
\maabbeledisp {} {\R \setminus \Z \pi} {\R
} {x} { \cot x = \frac{ \cos x }{ \sin x }
} {,}
heißt
Kotangens.
}{Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{0 \in V}{} und mit zwei Abbildungen
\maabbeledisp {+} {V \times V} {V
} {(u,v)} {u+v
} {,}
und
\maabbeledisp {} {K \times V } {V
} {(s,v) } {s v = s \cdot v
} {,}
derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind
\zusatzklammer {dabei seien
\mathkor {} {r,s \in K} {und} {u,v,w \in V} {} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungacht{$u+v = v + u$,
}{$(u+v)+w = u +(v+w)$,
}{$v+0 = v$,
}{Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit
\mathl{v+z=0}{,}
}{$r(su) = (rs) u$,
}{$r(u+v) = ru + rv$,
}{$(r+s) u = ru + su$,
}{$1 \cdot u = u$.
}
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Cauchykriterium für Reihen} {.}}{Der \stichwort {Satz von Rolle} {.}}{Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {m
}
{ \geq} {n_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n a_k }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige, auf
\mathl{]a,b[}{} differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ = }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{\faktsituation {Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine lineare Abbildung. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ v }} {}
Basen von $V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {bzw.} {\mathfrak{ v }} {}
\zusatzklammer {beidseitig} {} {}
beschreiben, die Beziehung
\mathdisp {M^ \mathfrak{ u }_ \mathfrak{ u }(\varphi) = M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \circ M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ v }(\varphi) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { . }
}
\faktfolgerung {}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Mengen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n
}
{ =} { T_n \setminus { \left( \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i = 1}^{n} T_i
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^{n} S_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass die Vereinigung
\mathl{\bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{} disjunkt ist, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n \cap S_k
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
a) Wegen
\mathl{S_n \subseteq T_n}{} gilt
\mathl{\supseteq}{.} Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei
\mathl{x \in \bigcup_{i = 1}^{n} T_i}{.} Dann gibt es ein $i$ zwischen $1$ und $n$ mit
\mathl{x \in T_i}{} und damit auch ein minimales $k$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also
\mathl{x \in T_k}{,} aber
\mathl{x \not\in T_i}{} für
\mathl{i<k}{.} Damit ist
\mathl{x \in T_k \setminus \bigcup_{i = 1}^{k-1}T_i =S_k}{} und insbesondere
\mathl{x \in \bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{.}
b) Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \neq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{x \in S_n =T_n \setminus \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i}{.} Dann ist
\mathl{x \in T_n}{} und
\mathl{x \not\in T_i}{} für
\mathl{i < n}{.} Also ist insbesondere
\mathl{x \not\in T_k}{} und damit auch
\mathl{x \not\in S_k}{.} Also sind $S_n$ und $S_k$ disjunkt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{
Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen
\mathl{A(n)}{} bewiesen, die von den natürlichen Zahlen
\mathl{n \in \N}{} abhängen. Man beweist zuerst die Aussage
\mathl{A(0)}{.} Ferner zeigt man, dass man für alle $n$ aus der Gültigkeit von $A(n)$ auf die Gültigkeit von $A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von $A(n)$ für alle
\mathl{n \in \N}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{
Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine Primzahl vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit kleineren Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Eine Termitenkönigin legt
\mathl{36 000}{} Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang
\zusatzklammer {am $29$. Februar legt sie keine Eier} {} {.}
Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?
}
{
Es sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{36 000 \cdot 365 \cdot 20
}
{ =} {720 000 \cdot 365
}
{ =} {262 800 000
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Eier.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.
}
{
Wir behaupten, dass das Polynom
\mathl{X^2+pX+q}{} die Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+pX+q
}
{ =} { (X-r) { \left( X- { \frac{ q }{ r } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-r- { \frac{ q }{ r } }
}
{ =} { { \frac{ -r^2- q }{ r } }
}
{ =} { { \frac{ - { \left( -pr-q \right) } - q }{ r } }
}
{ =} { { \frac{ pr +q - q }{ r } }
}
{ =} { p
}
}
{}{}{,}
so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts ${ \frac{ q }{ r } }$ einsetzt, kommt offenbar $0$ raus, es liegt also eine Lösung vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Glieder $x_1,x_2$ der
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startglied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Finde ganze Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a+b \sqrt{3} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 1+3 }{ 2 } }
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Von der Approximation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3}
}
{ \sim} { { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
her betrachten wir
\mathl{7 - 4 \sqrt{3}}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{49
}
{ =} {7^2
}
{ >} { (4 \sqrt{3})^2
}
{ =} { 48
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Zahl positiv. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 -4 \sqrt{3}
}
{ \leq} { 0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6,9
}
{ \leq} { 4 \sqrt{3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (6,9)^2
}
{ =} { 47,61
}
{ \leq} {48
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies richtig.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Jemand sagt zur Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq }{ { \frac{ n }{ 2n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\anfuehrung{Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen $0$}{.} Beurteile diese Argumentation.
}
{Rationale Folge/Nenner schneller/Argument/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Eisenbeis_Sprungrampe.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Eisenbeis_Sprungrampe.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge
\zusatzklammer {alle Angaben in Meter} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ = }{ 1,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verlaufen und eine Sprunghöhe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{ 0,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen
\zusatzklammer {siehe Bild} {} {.}
Welche
\zusatzklammer {implizite} {} {}
Bedingung muss der Winkel $\alpha$ erfüllen
\zusatzklammer {die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden} {} {?}
}
{
Es sei $r$ der Radius des Kreises, $\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und $x$ wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1,2
}
{ =} { r \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+0,2
}
{ =} {r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { r \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{\alpha
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist sicher keine Lösung} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r
}
{ =} { { \frac{ 1,2 }{ \alpha } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { r-0,2
}
{ =} { { \frac{ 1,2 }{ \alpha } } - 0,2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1,2 }{ \alpha } } - 0,2
}
{ =} { { \frac{ 1,2 }{ \alpha } } \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Multiplikation mit
\mathl{{ \frac{ \alpha }{ 1,2 } }}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 - { \frac{ 1 }{ 6 } } \alpha
}
{ =} { \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(\alpha)
}
{ =} { \cos \alpha + { \frac{ \alpha }{ 6 } } -1
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion $F(\alpha)$ hat für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle $0$ ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle
\mathl{\pi/2}{} besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall
\mathl{]0, \pi/2 [}{} eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Ableitung der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^3-9x^2-x+5 }{ x^2-6x+5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^3-9x^2-x+5 \right) }' { \left( x^2-6x+5 \right) } - { \left( x^3-9x^2-x+5 \right) } { \left( x^2-6x+5 \right) }' }{ { \left( x^2-6x+5 \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( 3x^2-18x-1 \right) } { \left( x^2-6x+5 \right) } - { \left( x^3-9x^2-x+5 \right) } { \left( 2 x-6 \right) } }{ x^4 -12 x^3 + 46 x^2 -60x+25 } }
}
{ =} { { \frac{ 3x^4-36x^3 -38 x^2 - 96x- 5 - { \left( 2x^4 -24x^3 +52 x^2 + 16x -30 \right) } }{ x^4 -12 x^3 + 90 x^2 -112 x+25 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4-12x^3 -38 x^2 - 96x +25 }{ x^4 -12 x^3 + 46 x^2 -60x+25 } }
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\maabb {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen. Dabei seien
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
im Punkt $a$ und es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \leq }{f(x)
}
{ \leq }{h(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g'(a)
}
{ =} {h'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch $f$ in $a$ differenzierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(a)
}
{ =} {g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ = }{g(a)
}
{ = }{h(a)
}
{ \defeqr }{b
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ g(x)-b }{ x-a } }
}
{ \leq} { { \frac{ f(x)-b }{ x-a } }
}
{ \leq} { { \frac{ h(x)-b }{ x-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ g(x)-b }{ x-a } }
}
{ \geq} { { \frac{ f(x)-b }{ x-a } }
}
{ \geq} { { \frac{ h(x)-b }{ x-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Folge $x_n$, die gegen $a$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von
\mathkor {} {g} {bzw.} {h} {}
die äußeren Differentialquotienten
\mathl{{ \frac{ g(x_n)-b }{ x_n-a } }}{} bzw.
\mathl{{ \frac{ h(x_n)-b }{ x_n-a } }}{} gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g'(a)
}
{ = }{h'(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
de Quetschkriteriums,
angewendet auf die Teilfolge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw. die Teilfolge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten
\mathl{{ \frac{ f(x_n)-b }{ x_n-a } }}{} gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g'(x)
}
{ = }{h'(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Regel von l'Hospital.
}
{
Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das
Folgenkriterium. Da $g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, besitzt auch $g$ nach
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
außer $a$ keine Nullstelle. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in
\mathl{I \setminus \{ a \}}{,} die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Zu jedem $x_n$ gibt es nach
Satz 15.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)),
angewandt auf
\mathkor {} {I_n \defeq [x_n, a ]} {bzw.} {[ a ,x_n]} {,}
ein $c_n$
\zusatzklammer {im Innern von $I_n$} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f(x_n)-f( a )}{g(x_n)-g( a ) }
}
{ =} {\frac{f'(c_n)}{g'(c_n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Folge
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert ebenfalls gegen $a$, so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{f'( a )}{g'( a )}
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen $w$, und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f( a )
}
{ = }{g( a )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet das, dass
\mathl{\frac{f(x_n)}{g(x_n)}}{} gegen $w$ konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh t } }} { }
für
\mathl{t>0}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \sinh t } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ e^t -e^{-t } }}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit der Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \ln s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müssen wir eine Stammfunktion für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ s-s^{-1 } }} \cdot { \frac{ 1 }{ s } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ s^2-1 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ (s-1)(s+1) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ s-1 } } - { \frac{ 1 }{ s+1 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden. Eine solche ist
\mathdisp {\ln (s-1) - \ln (s+1)} { . }
Daher ist
\mathdisp {\ln (e^t-1) - \ln (e^t+1)} { }
eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sinh t } }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}
{
Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem von $V$ mit einer
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
Indexmenge $I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus
Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (2)
argumentieren.
\fallunterscheidungzwei {Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor.}
{Andernfalls gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die um $v_k$ reduzierte Familie, also
\mathbed {v_i} {}
{i \in I \setminus \{k\}} {}
{} {} {} {,}
ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.}
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathbed {v_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (1+1+6+1)}
{
Aus den Rohstoffen $R_1,R_2$ und $R_3$ werden verschiedene Produkte
\mathl{P_1,P_2,P_3,P_4}{} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
\zusatzklammer {jeweils in geeigneten Einheiten} {} {.}
\tabellefuenfvier {\zeileundvier {} { $R_1$ } {$R_2$ } {$R_3$} }
{\zeileundvier { $P_1$ } {11} {5} {3} }
{\zeileundvier {$P_2$ } {8} {4} {6} }
{\zeileundvier {$P_3$ } {7} {30} {1} }
{\zeileundvier {$P_4$ } {12} {0} {15} }
a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
\wertetabellevierausteilzeilen { }
{\mazeileundvier { P_1 } { P_2 } { P_3 } {P_4 } }
{ }
{\mazeileundvier {8} {5} {7} {4} }
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
\wertetabelledreiausteilzeilen { }
{\mazeileunddrei { R_1 } {R_2 } {R_3 } }
{ }
{\mazeileunddrei {8} {15} {7} }
Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.
d) Wie viel vom Produkt $P_2$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt $P_3$?
}
{
a) Die Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 11 & 8 & 7 & 12 \\ 5 & 4 & 30 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \end{pmatrix}} { , }
da in der $i$-ten Spalte die für das $i$-te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.
b) Die benötigte Rohstoffmenge ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11 & 8 & 7 & 12 \\ 5 & 4 & 30 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\5\\ 7\\4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 88 + 40 +49 +48 \\ 40 +20 + 210 \\ 24 + 30 +7 +60 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 225 \\ 270 \\ 121 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Es geht um das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11 & 8 & 7 & 12 \\ 5 & 4 & 30 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11x+8y+7z+12w \\ 5x+4y+30z\\ 3x + 6y +z +15w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom $4$-fachen der dritten Zeile das $5$-fache der ersten Zeile ab und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11x+8y+7z+12w \\ 5 x+4y+30z\\ -43x - 16y -31 z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ -12 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das $4$-fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11x+8y+7z+12w \\5 x+4y+30z\\ -23 x + 89 z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ 48 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten wir die eindeutige Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 48 }{ 23 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 15 }{ 4 } } + { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 23 } }
}
{ =} { { \frac{ 585 }{ 92 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 585 }{ 92 } } + { \frac{ 11 }{ 12 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 23 } }
}
{ =} { { \frac{ 184 - 1170 +528 }{ 276 } }
}
{ =} { - { \frac{ 458 }{ 276 } }
}
{ =} { - { \frac{ 229 }{ 138 } }
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten wir die eindeutige Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 48 }{ 89 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 15 }{ 4 } } - { \frac{ 30 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 89 } }
}
{ =} { - { \frac{ 105 }{ 356 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 105 }{ 356 } } - { \frac{ 7 }{ 12 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 89 } }
}
{ =} { { \frac{ 712 +210 - 336 }{ 1068 } }
}
{ =} { { \frac{ 586 }{ 1068 } }
}
{ =} { { \frac{ 291 }{ 534 } }
}
}
{}{}{.}
Alle Lösungen haben somit die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 105 }{ 356 } } \\ { \frac{ 48 }{ 89 } }\\ { \frac{ 291 }{ 534 } } \end{pmatrix} + s { \left( \begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 105 }{ 356 } } \\ { \frac{ 48 }{ 89 } }\\ { \frac{ 291 }{ 534 } } \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - { \frac{ 48 }{ 23 } } \\ { \frac{ 585 }{ 92 } }\\ 0\\ - { \frac{ 229 }{ 138 } } \end{pmatrix} \right) }} { }
mit
\mathl{s \in \R}{.} Wegen der ersten Zeile muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.
d) Vom Produkt $P_2$ kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt $P_3$ maximal eine halbe Einheit.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7 (5+2)}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
} {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es nicht möglich ist,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer
\mathl{s \times n}{-}Matrix $A$ und einer
\mathl{m \times s}{-}Matrix $B$ zu schreiben.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Wir fassen die Matrix als
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {K^n} { K^m
} {.}
Nach
[[Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
ist der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
dieser Abbildung gleich $r$, d.h. das Bild
\mathl{V \subseteq K^m}{} besitzt die Dimension $r$. Es gibt also eine Faktorisierung
\mathdisp {K^n \longrightarrow V \longrightarrow K^m} { , }
wobei die erste Abbildung die durch $M$ gegebene Abbildung mit dem Bild $V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion
\mathl{V \subseteq K^m}{.} Mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} von $V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$ beschrieben. Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {B \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf $V$ abbildet, ist ihr Rang gleich $r$. Da das Bild der durch $B$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension $r$ besitzt, ist ihr Rang auch $r$.
} {Wir nehmen an, dass es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {B \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\mathl{s \times n}{-}Matrix $A$ und einer
\mathl{m \times s}{-}Matrix $B$ gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung
\mathdisp {K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^s \stackrel{B}{\longrightarrow} K^m} { . }
Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens $s$-dimensional. Da $r$ die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Widerspruch.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} der Funktion \maabbele {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {x} { { \mathrm i} x } {.}
}
{
Jede komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${ \mathrm i}$.
}