Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/44/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Körper} {.}
}{Eine \stichwort {wachsende} {} reelle Folge.
}{Der
\stichwort {Grenzwert} {}
zu einer auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Funktion
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {reelle Exponentialfunktion} {.}
}{Das
\stichwort {Treppenintegral} {}
zu einer Treppenfunktion
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} von Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Leibnizkriterium für alternierende Reihen} {.}}{Die
\stichwort {Kreisgleichung} {}
für die trigonometrischen Funktionen.}{Der
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{
\aufzaehlungdrei{Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt. }{Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl $n$, also %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $1$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $3$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $\ldots$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ $n-1$ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ $n$ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ $+$ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $1$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $3$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $\ldots$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ $n-1$ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ $n$ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 1+1 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 1+2 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 1+3 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ \ldots }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ 1+n-1 }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ 1+n }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 2+1 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 2+2 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 2+3 }
\renewcommand{\azweixvier}{ \ldots }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ 2+n-1 }
\renewcommand{\azweixsechs}{ 2+n }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 3+1 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 3+2 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 3+3 }
\renewcommand{\adreixvier}{ \ldots }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ 3+n-1 }
\renewcommand{\adreixsechs}{ 3+n }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxvier}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxsechs}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ n-1+1 }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ n-1+2 }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ n-1+3 }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ \ldots }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ n-1+n-1 }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ n-1+n }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ n+1 }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ n+2 }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ n+3 }
\renewcommand{\asechsxvier}{ \ldots }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ n+n-1 }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ n+n }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitsechsxsechs
Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich
\mathl{(n+1)n^2}{} ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ 1 \leq i \leq n,\,1\leq j \leq n} (i+j)
}
{ =} { (n+1)n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+2+3)}
{
\aufzaehlungdrei{Bestimme ein Polynom $P$ vom Grad $\leq 3$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(-1)
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(0)
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(1)
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(2)
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}{Bestimme ein normiertes Polynom $Q$ vom Grad $3$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(0)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(2)
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(3)
}
{ =} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu $P$ und zu $Q$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das Konvergenzverhalten der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { (-1)^n { \frac{ 7n^2- 8n +6 }{ 4n^2 +3 n -1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Folge.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {,} die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2+2x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme den Flächeninhalt des durch die $x$-Achse und den Graphen von $f$ eingeschränkten Gebietes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $90\%$ bei $A$, $0\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $15 \%$ wechseln zu $C$ und $15 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (3+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige durch Induktion über $n$, dass die Determinante einer $n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist. } {Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist. }
}
{} {}