Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/46/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 9 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.
}{Die
\stichwort {absolute Konvergenz} {}
einer reellen Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{.}
}{Eine \stichwort {ungerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Ein \stichwort {Erzeugendensystem} {}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eines $K$-Vektorraumes $V$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Regel für die Konvergenz der inversen Folge} {} einer reellen Folge.}{Die \stichwort {Periodizätseigenschaften} {} für Sinus und Kosinus \zusatzklammer {ohne spezielle Werte} {} {.}}{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten? \aufzaehlungdrei{Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir fassen die Lösung eines Sudokus \zusatzklammer {unabhängig von Zahlenvorgaben} {} {} als eine Abbildung \maabbeledisp {} { \{1,2 , \ldots , 9\} \times \{1,2 , \ldots , 9 \}} { \{1,2 , \ldots , 9\} } {(i,j)} { a_{i,j} } {,} auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\Q} {\Q } {x} { - \left \lfloor -x \right \rfloor } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3
}
{ =} { (1+ { \mathrm i})^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-7x+5 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( x- { \frac{ \sqrt{3} +1 }{ 4 } } \right) }^2 { \left( x- { \frac{ - \sqrt{3} +1 }{ 4 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 8 } } x - { \frac{ 1 }{ 64 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere das Konzept \anfuehrung{Approximation}{} anhand typischer Beispiele.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $x$.
} {Für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^2 \right) }'
}
{ =} { 2 f \cdot f'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2- (f-g)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{f \in \R[X]}{} ein Polynom vom Grad $n$ und
\mathl{a\in \R}{.} Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ mit $f$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { - e^{ \sin x } \cos x - e^x \sin \left( e^x \right) + { \frac{ 7x }{ x^2+3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\lambda \in K}{.} Zeige durch Induktion, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+3+4)}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.
}
{} {}