Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/46/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 9 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.
}{Die
\stichwort {absolute Konvergenz} {}
einer reellen Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{.}
}{Eine \stichwort {ungerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Ein \stichwort {Erzeugendensystem} {}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eines $K$-Vektorraumes $V$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von $K$ eine Beziehung $>$
\zusatzklammer {\anfuehrung{größer als}{}} {} {}
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + c
}
{ \geq }{ b + c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a, b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
}{Die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \betrag { a_k }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt ungerade, wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(-x)
}
{ =} {- f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Das Oberintegral ist definiert als das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
von sämtlichen
\definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{}
zu
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{}
von $f$.
}{Die Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor
\mathl{v \in V}{} als Linearkombination der $v_i$ darstellen kann.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Regel für die Konvergenz der inversen Folge} {} einer reellen Folge.}{Die \stichwort {Periodizätseigenschaften} {} für Sinus und Kosinus \zusatzklammer {ohne spezielle Werte} {} {.}}{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge in $\R$ mit dem Grenzwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}
}
{ =} { \frac{1}{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\R$ folgende
\betonung{Periodizitätseigenschaften}{.}
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x+2 \pi \right)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x+2 \pi \right)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x+ \pi \right)
}
{ = }{ - \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
Vektorräume über $K$. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von $V$ und es seien
\mathbed {w_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
\maabbdisp {f} {V} {W
} {} mit
\mathdisp {f(v_i)= w_i \text { für alle } i \in I} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten? \aufzaehlungdrei{Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac. }
}
{
(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Wir fassen die Lösung eines Sudokus \zusatzklammer {unabhängig von Zahlenvorgaben} {} {} als eine Abbildung \maabbeledisp {} { \{1,2 , \ldots , 9\} \times \{1,2 , \ldots , 9 \}} { \{1,2 , \ldots , 9\} } {(i,j)} { a_{i,j} } {,} auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
}
{
Die Bedingungen sind:
Für jedes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ =} {1 , \ldots , 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , 9 \} } { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {j } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
Für jedes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ j
}
{ =} {1 , \ldots , 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , 9 \} } { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {i } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
Für jedes Paar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { r,s
}
{ \leq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 3r+1,3r+2, 3r+3 \} \times \{ 3s+1,3s+2 , 3s+3 \}} { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {(i,j) } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{
Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir
\mathl{\{p_1,p_2 , \ldots , p_r\}}{.} Man betrachtet die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} {p_1\cdot p_2\cdot p_3 { \cdots } p_r\ + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen $p_i$ teilbar, da bei Division von $N$ durch $p_i$ immer ein Rest $1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von $N$, die es nach
Satz 2.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\Q} {\Q } {x} { - \left \lfloor -x \right \rfloor } {.}
}
{Gaußklammer/Minus innen und außen/Skizze/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3
}
{ =} { (1+ { \mathrm i})^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Auf der einen Seite ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-2+ { \mathrm i})^3
}
{ =} { -8 +12 { \mathrm i} +6 - { \mathrm i}
}
{ =} { -2 +11 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-2 - { \mathrm i})^3
}
{ =} { -8 -12 { \mathrm i} +6 + { \mathrm i}
}
{ =} { -2 -11 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Summe daraus ist $-4$. Auf der anderen Seite ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (1+ { \mathrm i})^4
}
{ = }{ 1 +4 { \mathrm i} -6 -4 { \mathrm i} +1
}
{ = }{ -4
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-7x+5 } {.}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-7x+5
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 7 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 49 }{ 4 } } +5
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 7 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 29 }{ 4 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( x- { \frac{ \sqrt{3} +1 }{ 4 } } \right) }^2 { \left( x- { \frac{ - \sqrt{3} +1 }{ 4 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 8 } } x - { \frac{ 1 }{ 64 } }} { . }
}
{
Um die Brüche wegzukriegen, multiplizieren wir den Term mit $256$ und erhalten
\mathdisp {{ \left( 4x- { \left( \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2 { \left( 4 x- { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2 - 32 x - 4} { . }
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 4x- { \left( \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2
}
{ =} {16x^2 -8 { \left( \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 4x- { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2
}
{ =} {16x^2 -8 { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( - \sqrt{3} +1 \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deren Produkt ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( 16x^2 -8 { \left( \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2 \right) } { \left( 16x^2 -8 { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( - \sqrt{3} +1 \right) }^2 \right) }
}
{ =} { px^4 +qx^3+rx^2 +sx+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und die Koeffizienten sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {256
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { - 128 { \left( \sqrt{3} +1 - \sqrt{3} +1 \right) }
}
{ =} { - 256
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{r
}
{ =} { 16 { \left( { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2 + { \left( -\sqrt{3} +1 \right) }^2 \right) } + 64 \cdot (\sqrt{3} +1)( - \sqrt{3} +1 )
}
{ =} { 16 \cdot 8 + 64 \cdot (- 2 )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { -8 (\sqrt{3} +1 )(- \sqrt{3} +1) { \left( \sqrt{3} +1 - \sqrt{3} +1 \right) }
}
{ =} { -8 (-2) \cdot 2
}
{ =} { 32
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{t
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2 { \left( - \sqrt{3} +1 \right) }^2
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der lineare Term hebt sich weg und somit ist der Gesamtausdruck gleich
\mathl{x^4-x^3}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Erläutere das Konzept \anfuehrung{Approximation}{} anhand typischer Beispiele.
}
{Approximation/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Für $n \geq 1$ kann man die Folge
\zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^4$} {} {} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 7n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7-2 { \frac{ 1 }{ n^2 } } +5 { \frac{ 1 }{ n^4 } } }{ 4 -5 { \frac{ 1 }{ n } }+ { \frac{ 1 }{ n^3 } }-6 { \frac{ 1 }{ n^4 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Folgen vom Typ
\mathkor {} {a/n, \, a/n^2,\, a/n^3} {und} {a/n^4} {}
sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $7$ und der Nenner gegen $4$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen $7/4 \in \Q$ konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $x$.
} {Für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent.
}
}
{
Aufgrund
des Folgenkriteriums
müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Es sei also
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $T$, die gegen $x$ konvergiert. Die Bildfolge
\mathl{f(x_n)}{} konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen $b$. Wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Wir betrachten dann die Folge
\mathdisp {x_1,x, x_2,x, x_3,x, x_4, \ldots} { . }
Diese Folge konvergiert offenbar gegen $x$, deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen $c$. Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen $c$ konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist
\mathl{f(x_n)}{,} und diese konvergiert gegen $b$. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge
\mathl{f(x)}{,} die gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^2 \right) }'
}
{ =} { 2 f \cdot f'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2- (f-g)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( fg \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2 - (f-g)^2 \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( 2 (f+g) (f+g)' - 2 (f-g) (f-g)' \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( (f+g) (f'+g') - (f-g) (f'-g') \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( ff'+fg'+gf'+gg'-ff'+fg'+gf'-gg' \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 2gf'+2fg' \right) }
}
{ =} {gf'+fg'
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{
Die Aussage
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ \neq} {g(b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt aus
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)).
Wir betrachten die Hilfsfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq} { f(x)- { \frac{ f(b)-f(a) }{ g(b)-g(a) } } g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ h(a)
}
{ =} { f(a)- { \frac{ f(b)-f(a) }{ g(b)-g(a) } } g(a)
}
{ =} { { \frac{ f(a) g(b) - f(a)g(a) -f(b)g(a)+f(a)g(a) }{ g(b)-g(a) } }
}
{ =} { { \frac{ f(a) g(b)-f(b)g(a) }{ g(b)-g(a) } }
}
{ =} { { \frac{ f(b)g(b) - f(b) g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b) }{ g(b)-g(a) } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {f(b) - { \frac{ f(b)-f(a) }{ g(b)-g(a) } } g(b)
}
{ =} {h(b)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(a)
}
{ = }{h(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
liefert die Existenz eines
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{{]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h'(c)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umstellen ergibt die Behauptung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{f \in \R[X]}{} ein Polynom vom Grad $n$ und
\mathl{a\in \R}{.} Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ mit $f$ übereinstimmt.
}
{
Zu jedem
\mathl{x \in \R}{} gibt es aufgrund der Taylor-Formel ein
\mathl{c \in \R}{} mit
\mathdisp {f( x) = \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } + \frac{ f^{ (n+1) } ( c )}{ (n+1)! } (x-a)^{ n+1 }} { , }
wobei der linke Summand das Taylor-Polynom vom Grad $n$ ist. Da $f$ den Grad $n$ besitzt, ist aber die
\mathl{(n+1)}{-}te Ableitung davon $0$. Daher fällt der rechte Summand weg und $f$ stimmt mit dem $n$-ten Taylor-Polynom überein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { - e^{ \sin x } \cos x - e^x \sin \left( e^x \right) + { \frac{ 7x }{ x^2+3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Man kann für jeden Summanden einzeln direkt eine Stammfunktion angeben, insgesamt ist
\mathdisp {- e^{ \sin x } + \cos \left( e^x \right) + { \frac{ 7 }{ 2 } } \ln \left( x^2+3 \right)} { }
eine Stammfunktion.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\lambda \in K}{.} Zeige durch Induktion, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Aussage klar. Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M^{n+1}
}
{ =} { M^n \circ M
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}^n \circ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^{n+1} & \lambda^n + n \lambda^{n-1} \cdot \lambda \\ 0 & \lambda^{n+1} \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^{n+1} & (n +1)\lambda^{n} \\ 0 & \lambda^{n+1} \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$.
}
{
Die $2\times 2$-Matrizen haben die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{x,y,z,w \in K}{.} Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xw-yz
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Im ersten Fall gibt es für $x$ und $z$ jeweils $q$ Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für $x$ und $y$ ebenfalls jeweils $q$ Möglichkeiten, allerdings darf man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
insgesamt
\mathl{q^2 + q(q-1)}{} Möglichkeiten. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ yz }{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $x$ ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es
\mathl{(q-1)q^2}{} Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ q^2 + q(q-1) + (q-1)q^2
}
{ =} { q^2 + q^2 -q + q^3 -q^2
}
{ =} { q^3 +q^2-q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
nichtinvertierbare $2 \times 2$-Matrizen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die Summe der ersten und der vierten und die Summe der zweiten und der fünften Zeile ergeben jeweils
\mathl{(1,1,1,1,1)}{,} daher liegt eine lineare Abhängigkeit vor und die Determinante ist $0$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+3+4)}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^4 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 5 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n+1}
}
{ =} { x_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {x_n + x_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beides beweisen wir durch Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} x_n \\y_{n} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_{n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {x_n+y_n
}
{ =} {x_n + x_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n+1}
}
{ =} {x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $M$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} x-1 & -1 \\ -1 & x \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-1)x -1
}
{ =} { x^2-x-1
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 4 } } -1
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 5 }{ 4 } }
}
}
{}{}{.}
Somit sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{5} }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nullstellen und nach
Satz 28.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
die Eigenwerte von $M$. Der Kern zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} +1 }{ 2 } } -1 & -1 \\ -1 & { \frac{ \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } & -1 \\ -1 & { \frac{ \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\ { \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
und der Kern zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ - \sqrt{5} +1 }{ 2 } } -1 & -1 \\ -1 & { \frac{ - \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ - \sqrt{5} -1 }{ 2 } } & -1 \\ -1 & { \frac{ - \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\ { \frac{ \sqrt{5} + 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
erzeugt. Die Eigenvektoren sind also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\ { \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\ { \frac{ \sqrt{5} + 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { . }
}