Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/47/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Die
\stichwort {bestimmte Divergenz} {}
einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $- \infty$.
}{Die reelle
\stichwort {Exponentialfunktion} {}
zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {Kosinus hyperbolicus} {.}
}{\stichwort {Ähnliche} {}
Matrizen
\mathl{M,N \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{.}}{Die
\stichwort {Produktregel} {}
für reelle Folgen.}{Der
\stichwort {Basisaustauschsatz} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{p,q,r}{} Aussagen. Zeige, dass
\mathdisp {{ \left( (p \rightarrow q) \wedge (p \rightarrow r) \right) } \leftrightarrow { \left( p \rightarrow ( q \wedge r) \right) }} { }
eine Tautologie ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Ein Schokoriegel der Marke \anfuehrung{Höcker und Kerbe}{} besteht aus einer einzigen Reihe von $n$ hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung \zusatzklammer {der Sollbruchstelle} {} {} miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau $n-1$ Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \{a,b,c,d \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Tabelle
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ c }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ d }
\renewcommand{\azweixzwei}{ d }
\renewcommand{\azweixdrei}{ b }
\renewcommand{\azweixvier}{ b }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ a }
\renewcommand{\adreixzwei}{ b }
\renewcommand{\adreixdrei}{ c }
\renewcommand{\adreixvier}{ c }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ b }
\renewcommand{\avierxzwei}{ a }
\renewcommand{\avierxdrei}{ d }
\renewcommand{\avierxvier}{ d }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
gegebene Verknüpfung $\star$.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( c \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erstelle das Pascalsche Dreieck bis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{10000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_1 , \ldots , a_n \in K$ und $n$ Elemente $b_1 , \ldots , b_n \in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $\R$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n = 0}^n a_n}{} eine
\definitionsverweis {reelle Reihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Die Folge der Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_{n+1} }{ a_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiere gegen eine reelle Zahl $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ < }{ x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige unter Verwendung
des Quotientenkriteriums,
dass die Reihe konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass der Graph des \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} nicht überall oberhalb der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { \R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ = }{ { \frac{ (f (x))^n }{ f(x^n) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2 + \sin x } {,} genau zwei Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien $a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^x
}
{ <} {b^y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es positive rationale Zahlen
\mathl{c,z}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^x
}
{ <} {c^z
}
{ <} { b^y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R } {,} die nicht \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg } {} {Claudia4} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
$\,$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } =u_1 , \ldots , u_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {und} {\mathfrak{ z } = z_1 , \ldots , z_m} {}
Basen von $W$. Es seien
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}
Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis
\mathl{(v_1 ,0) , \ldots , (v_n,0),(0, w_1) , \ldots , (0, w_m)}{} zur Basis
\mathl{(u_1 ,0) , \ldots , (u_n,0),(0, z_1) , \ldots , (0, z_m)}{} vom
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} beschrieben?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins
\zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {}
als eine Familie von $9$ Tupeln der Länge $9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 2 & 5 & 8 & 1 & 4 & 7 \\ 4 & 8 & 2 & 6 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6 \\ 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 \\ 6 & 2 & 8 & 4 & 0 & 6 & 2 & 8 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 2 & 9 & 6 & 3 \\ 8 & 6 & 4 & 2 & 0 & 8 & 6 & 4 & 2 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}} { . }
Welche
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
besitzt der durch diese Tupel
\definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{}
des $\R^9$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.
}
{} {}