Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Primzahl} {.}
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge reeller Zahlen.
}{Eine \stichwort {gerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Basis} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraums}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}{Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {w} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {f} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {f} {f} {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{.}
Zeige, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung
\maabbdisp {\varphi'} {L} {T
} {}
auffassen kann
\zusatzklammer {$\varphi$ und $\varphi'$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs} {} {}
und dass $\varphi'$ bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung
\zusatzklammer {$8$ Milliarden} {} {}
gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Schreibe das Polynom
\mathdisp {X^4-1} { }
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb C}[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+2+3)}
{
\aufzaehlungdrei{Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass
\mathl{{ \frac{ x_n }{ y_n } }}{} gegen $1$ konvergiert, aber $x_n-y_n$ nicht konvergiert.
}{Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass $x_n-y_n$ gegen $0$ konvergiert, aber
\mathl{{ \frac{ x_n }{ y_n } }}{} nicht konvergiert.
}{Es seien
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} reelle Folgen derart, dass $x_n-y_n$ gegen $0$ konvergiert. Es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \geq} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ x_n }{ y_n } }}{} gegen $1$ konvergiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ { \left( \cos x \right) }^{1/x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{x \rightarrow 0}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die Quadratabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {x^2
} {,}
für verschiedene Körper $K$.
\aufzaehlungdrei{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Z/(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dem Körper mit zwei Elementen.
}{Es sei nun $K$ ein Körper, in dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ = }{1+1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist $\varphi$ linear? Ist $\varphi$ verträglich mit der Addition?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2- { \mathrm i} & 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 0 & 6+7 { \mathrm i} & 4 \\3+3 { \mathrm i} & 4- 3 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Finde ganze Zahlen
\mathl{a,b,c,d,e,f}{} derart, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 10 & 15 \\ a & b & c \\d & e & f \end{pmatrix}} { }
gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und seien \maabb {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,} von denen die \definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{} bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von $\varphi + \psi$ bestimmen?
}
{} {}