Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Primzahl} {.}
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge reeller Zahlen.
}{Eine \stichwort {gerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Basis} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraums}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
\mathl{n \geq 2}{} heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von ihr $1$ und $n$ sind.
}{Zu einer
\definitionsverweis {streng wachsenden}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbele {} {\N} {\N
} {i} {n_i
} {,}
heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine Teilfolge der Folge.
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt gerade, wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Der
\stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x
}
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über
\mathl{[a,b]}{} heißt bestimmtes Integral.
}{Eine Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}{Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.
Dann ist auch das Cauchy-Produkt
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} absolut konvergent und für die Summe gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }
}
{ =} { { \left( \sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \right) } \cdot { \left( \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} {f(c)(b-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
Vektorräume über $K$ der Dimension
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
}{$\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^m$ bilden.
}{Bei
\mathl{m=n}{} ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von $K^m$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn $M$ invertierbar ist.
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {w} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {f} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {f} {f} {f} {f} {w} }
}
{
\mathdisp {(p \leftrightarrow q) \wedge (p \leftrightarrow r)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{.}
Zeige, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung
\maabbdisp {\varphi'} {L} {T
} {}
auffassen kann
\zusatzklammer {$\varphi$ und $\varphi'$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs} {} {}
und dass $\varphi'$ bijektiv ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ y \in M \mid \text{ es gibt } x \in L \text{ mit } y = \varphi(x) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $T$ sämtliche Elemente aus $M$ enthält, die überhaupt unter $\varphi$ getroffen werden, kann man $\varphi$ als eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi'} {L} {T
} {x} { \varphi(x)
} {,}
auffassen. Diese Abbildung ist surjektiv, da ja jedes Element aus $T$ nach Definition getroffen wird. Die Injektivität überträgt sich direkt von $\varphi$ auf $\varphi'$, da die Gleichheit von Elementen in einer Teilmenge mit der Gleichheit in der Menge übereinstimmt. Daher ist $\varphi'$ bijektiv.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung
\zusatzklammer {$8$ Milliarden} {} {}
gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8 000 000 000
}
{ =} { 2 000^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb ist die Seitenlänge der zu verteilenden Würfel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 21,7 }{ 2000 } }
}
{ =} {0,01085
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{1,085}{} Zentimeter.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ = }{ y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor, \left \lfloor y \right \rfloor}{} ganze Zahlen sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{\left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganzzahlig. Damit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y
}
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (y - \left \lfloor y \right \rfloor )
}
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (x - \left \lfloor x \right \rfloor )
}
{ =} { x + \left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { x + n
}
}
{}
{}{.}
Es sei nun
\mathl{y=x+n}{} mit
\mathl{n \in \Z}{.} Aus der definierenden Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ \leq} {x
}
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor +n
}
{ \leq} {x +n
}
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + n+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x+n \right \rfloor
}
{ =} {\left \lfloor x \right \rfloor + n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ =} {x +n - \left \lfloor x+n \right \rfloor
}
{ =} { x+n - ( \left \lfloor x \right \rfloor + n)
}
{ =} { x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Schreibe das Polynom
\mathdisp {X^4-1} { }
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb C}[X]$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4-1
}
{ =} {(X^2-1)(X^2+1)
}
{ =} {(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ P'
}
{ \defeq} { P-TH
}
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 5 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 9 }{ 4 } } \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 20 }{ 9 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 81+80 }{ 72 } }
}
{ =} { { \frac{ 161 }{ 72 } }
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_3
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 161 }{ 72 } } \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 360 }{ 161 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 25921 + 25920 }{ 23184 } }
}
{ =} { { \frac{ 51841 }{ 23184 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7 (2+2+3)}
{
\aufzaehlungdrei{Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass
\mathl{{ \frac{ x_n }{ y_n } }}{} gegen $1$ konvergiert, aber $x_n-y_n$ nicht konvergiert.
}{Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass $x_n-y_n$ gegen $0$ konvergiert, aber
\mathl{{ \frac{ x_n }{ y_n } }}{} nicht konvergiert.
}{Es seien
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} reelle Folgen derart, dass $x_n-y_n$ gegen $0$ konvergiert. Es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \geq} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ x_n }{ y_n } }}{} gegen $1$ konvergiert.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { n^2+n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x_n }{ y_n } }
}
{ =} { { \frac{ n^2+n }{ n^2 } }
}
{ =} { 1 +{ \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies konvergiert gegen $1$. Die Differenzfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-y_n
}
{ =} { n^2+n- n^2
}
{ =} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiert nicht.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x_n }{ y_n } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ n } } }{ { \frac{ 1 }{ n^2 } } } }
}
{ =} { { \frac{ n^2 }{ n } }
}
{ =} { n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-y_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiert gegen $0$, da beide Folgen Nullfolgen sind.
}{Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {y_n + z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $z_n$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ x_n }{ y_n } }
}
{ =} { { \frac{ y_n+z_n }{ y_n } }
}
{ =} { 1 + { \frac{ z_n }{ y_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ z_n }{ y_n } } }
}
{ =} { \betrag { z_n } \cdot \betrag { { \frac{ 1 }{ y_n } } }
}
{ \leq} { \betrag { z_n } \cdot \betrag { { \frac{ 1 }{ a } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen $1$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{
Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
\mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,}
betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.}
Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt *****
definierte
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) }
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ { \left( \cos x \right) }^{1/x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{x \rightarrow 0}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \left( \cos x \right) }^{1/x}
}
{ =} { \exp \left( { \frac{ 1 }{ x } } \ln \left( \cos x \right) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \exp \left( { \frac{ 1 }{ x } } \ln \left( \cos x \right) \right)} { }
zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln \left( \cos x \right) }{ x } }} { }
bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert $0$. Wir können
die Regel von Hospital
anwenden und betrachten
\mathdisp {{ \frac{ { \frac{ - \sin x }{ \cos x } } }{ 1 } }} { . }
Dies konvergiert für
\mathl{x \rightarrow 0}{} gegen $0$. Somit ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln \left( \cos x \right) }{ x } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \exp \left( { \frac{ 1 }{ x } } \ln \left( \cos x \right) \right)
}
{ =} { \exp 0
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.
}
{
Aufgrund von
[[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (3)]]
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ =} { - \sin \left( - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ =} { - \cos \left( - { \frac{ \pi }{ 4 } } + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)
}
{ =} { \cos \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode $\pi$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin^{ 2 } x + \cos^{ 2 } x
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich $\pm { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }$
Von
\mathl{{ \frac{ \pi }{ 4 } }}{} bis ${ \frac{ 5\pi }{ 4 } }$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ { \frac{ \pi }{ 4 } } }^{ { \frac{ 5\pi }{ 4 } } } \sin x - \cos x \, d x
}
{ =} { \left( - \cos x - \sin x \right) | _{ { \frac{ \pi }{ 4 } } } ^{ { \frac{ 5\pi }{ 4 } } }
}
{ =} { - \cos \left( { \frac{ 5\pi }{ 4 } } \right) - \sin \left( { \frac{ 5\pi }{ 4 } } \right) + \cos \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) + \sin \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ =} { 4 { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 } }}
}
{ =} { 2 \sqrt{2}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Wir betrachten die Quadratabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {x^2
} {,}
für verschiedene Körper $K$.
\aufzaehlungdrei{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Z/(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dem Körper mit zwei Elementen.
}{Es sei nun $K$ ein Körper, in dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ = }{1+1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist $\varphi$ linear? Ist $\varphi$ verträglich mit der Addition?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (1+1)
}
{ =} { \varphi (2)
}
{ =} { 4
}
{ \neq} { 1+1
}
{ =} {\varphi(1) + \varphi(1)
}
}
{}{}{,}
somit ist $\varphi$ auf $\Q$ nicht linear.
}{Für den Körper mit zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(2)
}
{ = }{ \{0,1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist $\varphi$ die Identität und somit linear.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (u+v)
}
{ =} { (u+v)^2
}
{ =} { u^2 +2uv +v^2
}
{ =} { u^2+v^2
}
{ =} { \varphi(u) + \varphi(v)
}
}
{}{}{,}
daher erfüllt $\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass $\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes
\mathl{s \in K}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s^2
}
{ =} {\varphi (s)
}
{ =} {\varphi (s1)
}
{ =} { s \varphi (1)
}
{ =} { s1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { s
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s^2
}
{ =} {s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2- { \mathrm i} & 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 0 & 6+7 { \mathrm i} & 4 \\3+3 { \mathrm i} & 4- 3 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \det \begin{pmatrix} -2- { \mathrm i} & 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 0 & 6+7 { \mathrm i} & 4 \\3+3 { \mathrm i} & 4- 3 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( -2- { \mathrm i} \right) } \cdot \det \begin{pmatrix} 6+7 { \mathrm i} & 4 \\ 4- 3 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} \end{pmatrix} + { \left( 3+3 { \mathrm i} \right) } \cdot \det \begin{pmatrix} 3-4 { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} \\ 6- 7 { \mathrm i} & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( -2- { \mathrm i} \right) } \cdot { \left( { \left( 6+7 { \mathrm i} \right) } { \left( -4- { \mathrm i} \right) } - 4 { \left( 4- 3 { \mathrm i} \right) } \right) } + { \left( 3+3 { \mathrm i} \right) } \cdot { \left( 4 { \left( 3-4 { \mathrm i} \right) } -2 { \mathrm i} { \left( 6- 7 { \mathrm i} \right) } \right) }
}
{ =} { { \left( -2- { \mathrm i} \right) } \cdot { \left( - 47 -22 { \mathrm i} \right) } + { \left( 3+3 { \mathrm i} \right) } \cdot { \left( -2 - 28 { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { 72 + 91 { \mathrm i} +78 -82 { \mathrm i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 150 +9 { \mathrm i}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Finde ganze Zahlen
\mathl{a,b,c,d,e,f}{} derart, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 10 & 15 \\ a & b & c \\d & e & f \end{pmatrix}} { }
gleich $1$ ist.
}
{
Eine solche Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 10 & 15 \\ -1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und seien \maabb {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,} von denen die \definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{} bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von $\varphi + \psi$ bestimmen?
}
{
Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\varphi= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } \psi = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils $X^2$. Ihre Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und das charakteristische Polynom davon ist
\mathl{X^2 -1}{.} Wenn man dagegen $\varphi$ zweimal nimmt, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ = }{\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist dies ebenfalls nilpotent, und das charakteristische Polynom ist $X^2$.
}