Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/49/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Eine \stichwort {ungerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Die
\stichwort {Kosinusreihe} {}
zu
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {Integralfunktion} {}
zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {trigonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.}{Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.}{Der \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für eine stetige Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+2+1)}
{
In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und
\mathl{1005}{} Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.
\aufzaehlungdrei{Wie schwer
\zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {}
kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
}{Wie leicht
\zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {}
kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
}{Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Die Hochschule \anfuehrung{Tellerrand}{} bietet lediglich $4$ Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich $2$-Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es \zusatzklammer {es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden} {} {?} Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Man entwerfe ein Computer-Programm
\zusatzklammer {Pseudocode} {} {,}
das zu zwei einziffrigen natürlichen Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} {a,b
}
{ \leq} { 9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Produkt $ab$ berechnet, und zwar die Zehneranzahl und die Eineranzahl ausgibt.
\auflistungsieben{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die einstellige Zahlen
\zusatzklammer {also zwischen
\mathkor {} {0} {und} {9} {}} {} {}
enthalten können.
}{Er kann einen Speicher leeren.
}{Er kann einen Speicherinhalt um $1$ erhöhen.
}{Er kann zu einem bestimmten Befehl springen.
}{Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl springen.
}{Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
}{Es gibt einen Haltebefehl.
}
Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(a,b,9,0,0,0,0, \ldots )} { . }
Das Programm soll \anfuehrung{Das Produkt von}{} a \anfuehrung{und}{} $b$ \anfuehrung{ist}{} c d ausdrucken, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ = }{10c+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und anschließend anhalten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Die Funktionen
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
seien durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {y^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(z)
}
{ =} { 3z+4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
\aufzaehlungdrei{Berechne
\mathl{g \circ f}{.}
}{Berechne
\mathl{h \circ g}{.}
}{Berechne
\mathl{h \circ g \circ f}{} auf zwei unterschiedliche Arten.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine quadratische Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $p,q \in \Z$, für die $17$ die einzige Lösung ist.
} {Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $p,q \in \Z$, für die $17$ eine Lösung ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Man finde ein Polynom
\mathl{f \in \R[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(3)
}
{ = }{9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { e^{x_n}-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Entscheide, für welche
\mathl{x_0}{} die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+3)}
{
Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt
\mathl{(1,0)}{} und Radius $1$ und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt
\mathl{(3,0)}{} und Radius $1$.
\aufzaehlungdrei{Skizziere die Situation.
}{Definiere eine Funktion
\maabbdisp {f} {[0,4]} {\R
} {,}
deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.
}{Ist $f$ an der Stelle $2$ differenzierbar?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Der Graph der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { -x^2+5x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$K^2$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M N
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede
\mathl{n \times n}{-}Matrix $N$ vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 7 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & -1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer
\definitionsverweis {ebenen Drehung}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix}}{} zu einem Drehwinkel
\mathbed {\alpha} {}
{0 \leq \alpha <2 \pi} {}
{} {} {} {,}
über $\R$.
}
{} {}