Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Das
\stichwort {Maximum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
}{Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen
\mathl{\epsilon >0}{} ein $n_0 \in \N$ derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x_n }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass $f$ in
\mathl{x \in M}{} das Maximum annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text{ für alle } x' \in M \text{ gilt}} { . }
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
\mathdisp {a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b} { }
von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall
\mathl{]a_{i-1},a_{i}[}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
}{Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
\mathdisp {s_1v_1+s_2v_2 + \cdots + s_nv_n \text{ mit } s_i \in K} { }
eine Linearkombination dieser Vektoren
}{Ein Element
\mathl{\lambda \in K}{} heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} {\lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.}{Der Satz über die Differenz zwischen Stammfunktionen.}{Der Satz über die Dimension des Standardraumes.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.}{Sei $I$ ein reelles Intervall und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine Funktion. Es seien
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
zwei Stammfunktionen von $f$. Dann ist
\mathl{F-G}{} eine konstante Funktion.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Dann besitzt der Standardraum $K^n$ die Dimension $n$.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{
Wegen der ersten Voraussetzung gilt
\mathl{A(0)}{.} Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch
\mathl{A(1)}{.} Deshalb gilt auch
\mathl{A(2)}{.} Deshalb gilt auch
\mathl{A(3)}{.} Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage
\mathl{A(n)}{} für jede natürliche Zahl $n$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{
Es gibt insgesamt $5$ Fladenbrote, so dass also jede Person ${ \frac{ 5 }{ 3 } }$ Brote isst. Somit gibt $A$ genau ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$ Brot an $C$ ab und $B$ gibt ${ \frac{ 4 }{ 3 } }$ Brote an $C$ ab. $B$ gibt also $4$-mal soviel ab wie $A$ und bekommt daher $4$ Taler, und $A$ bekommt einen Taler von $C$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 3.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 3.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige durch Induktion über $n$, dass es zu natürlichen Zahlen $a,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürliche Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { aq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es sei
\mathl{a >0}{} fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit
\mathl{q=0}{} und
\mathl{r=n=0}{.} Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung
\mathl{n=aq+r}{} mit
\mathl{r <a}{} und müssen eine ebensolche Darstellung für
\mathl{n+1}{} finden. Wenn
\mathl{r < a-1}{} ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n+1
}
{ =} {aq+r +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mathl{r+1 <a}{} ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen
\mathl{r=a-1}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n+1
}
{ =} {aq+r +1
}
{ =} {aq +a
}
{ =} {a(q+1) +0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies ist eine gesuchte Darstellung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(Q)
}
{ =} {Q^3 -2{ \mathrm i} Q^2+ 4 Q - 1
}
{ =} {{ \left( { \mathrm i}X-3+2{ \mathrm i} \right) }^3 -2 { \mathrm i} { \left( { \mathrm i} X-3+2{ \mathrm i} \right) }^2+ 4 { \left( { \mathrm i}X-3+2{ \mathrm i} \right) } - 1
}
{ =} { -{ \mathrm i}X^3 +3 { \mathrm i}^2 (-3+2{ \mathrm i})X^2 + 3 { \mathrm i} { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^2 X + { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^3
}
{ \,\,\, \, \, \, \,} { -2{ \mathrm i} { \left( { \mathrm i}^2 X^2 +2 { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) } { \mathrm i} X + { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^2 \right) } +4{ \mathrm i}X-12+8 { \mathrm i} -1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -{ \mathrm i} X^3 +9 X^2 -6{ \mathrm i} X^2 +3{ \mathrm i} { \left( 9-4 -12 { \mathrm i} \right) }X - 27 + 54 { \mathrm i} +36 -8 { \mathrm i}
}
{ \,\,\, \,\, \, \,} { +2{ \mathrm i} X^2 -12 X +8 { \mathrm i} X -18{ \mathrm i} -24 +8 { \mathrm i} +4 { \mathrm i} X-13+8 { \mathrm i}
}
{ =} {-{ \mathrm i} X^3 + { \left( 9 - 4{ \mathrm i} \right) } X^2 +{ \left( 24 + 27 { \mathrm i} \right) }X - 28 + 44 { \mathrm i}
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Wir erweitern den Bruch mit
\mathl{1/n^3}{}
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {} und schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{ \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 { \frac{ \sin^{ 4 } n }{ n^3 } } -7 { \frac{ n^3 }{ n^3 } } +11 { \frac{ n }{ n^3 } } }{ 5 { \frac{ n^3 }{ n^3 } } -4 { \frac{ n^2 }{ n^3 } } - { \frac{ \cos n }{ n^3 } } } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 { \frac{ \sin^{ 4 } n }{ n^3 } } - 7 +11 { \frac{ 1 }{ n^2 } } }{ 5 -4 { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ \cos n }{ n^3 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
Dabei konvergieren
\mathl{11 { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{} und
\mathl{-4 { \frac{ 1 }{ n } }}{} gegen $0$ und wegen
\mathl{-1 \leq \sin n, \cos n \leq 1}{} konvergieren auch
\mathl{{ \frac{ \sin^{ 4 } n }{ n^3 } }}{} und
\mathl{{ \frac{ \cos n }{ n^3 } }}{} gegen $0$. Somit konvergiert die Folge gegen
\mathl{- { \frac{ 7 }{ 5 } }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{
Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
\mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,}
betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.}
Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt *****
definierte
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) }
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ \ln { \left( 2x^2 \right) } }{ 7^x } } } {.}
}
{
Wir verwenden die Darstellung
\mathl{7^x= e^{ x \ln (7) }}{.}
Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f' (x)
}
{ =} { { \left( { \frac{ \ln (2x^2) }{ e^{ x \ln (7) } } } \right) }^\prime
}
{ =} { { \frac{ e^{ x \ln (7) } { \frac{ 1 }{ 2x^2 } } 4x - \ln (2x^2) \ln (7) e^{ x \ln (7) } }{ { \left( e^{x \ln (7) } \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 x^{-1} - \ln (2x^2) \ln (7) }{ e^{ x \ln (7) } } }
}
{ =} { { \frac{ 2 - x \ln (2x^2) \ln (7) }{ x 7^x } }
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) = t^2e^{-t} } {.}
}
{
Die erste Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^\prime(t)
}
{ =} { { \left( 2t-t^2 \right) } e^{-t}
}
{ =} { t { \left( 2-t \right) } e^{-t}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deren Nullstellen sind
\mathkor {} {0} {und} {2} {.}
Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(t)
}
{ =} { { \left( t^2 -4t+2 \right) } e^{-t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(0)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(2)
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Daher liegt nach
Korollar 15.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
in
\mathl{0}{} ein
\zusatzklammer {isoliertes} {} {}
lokales Minimum mit dem Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in $2$ ein \zusatzklammer {isoliertes} {} {}
lokales Maximum mit dem Wert
\mathl{4 \cdot e^{-2}}{} vor. Da für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowohl $t^2$ als auch $e^{-t}$ positiv sind, liegt in $0$ auch das globale Minimum vor. Für
\mathl{t \rightarrow - \infty}{} wächst die Funktion hingegen gegen
\mathl{+ \infty}{,} sodass in $2$ kein globales Maximum vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { e^{x^2} -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind
\mathdisp {f^\prime(x) = 2x e^{x^2} -1} { , }
\mathdisp {f^{\prime \prime}(x) = 2 e^{x^2} +2x 2x e^{x^2} ={ \left( 2+4x^2 \right) } e^{x^2}} { , }
\mathdisp {f^{\prime \prime \prime}(x) = { \left( 8 x \right) } e^{x^2}+ 2x { \left( 2+4x^2 \right) } e^{x^2} = { \left( 12 x +8x^3 \right) } e^{x^2}} { , }
\mathdisp {f^{\prime \prime \prime \prime}(x) = { \left( 12 +24x^2 \right) } e^{x^2}+ 2x { \left( 12 x +8x^3 \right) } e^{x^2} = { \left( 12 +48x^2 + 16x^4 \right) } e^{x^2}} { . }
Somit ist
\mathdisp {f(1)= e-1, \, f^\prime(1)= 2e-1 , \, f^{\prime \prime} (1)= 6e, \,f^{\prime \prime \prime} (1)= 20e , \, f^{\prime \prime \prime \prime} (1) = 76 e} { . }
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $1$ ist demnach
\mathdisp {e-1 + { \left( 2e-1 \right) } { \left( x-1 \right) } + 3e { \left( x-1 \right) }^2 + { \frac{ 10 e }{ 3 } }
{ \left( x-1 \right) }^3+{ \frac{ 19 e }{ 6 } } { \left( x-1 \right) }^4} { }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq }{ { \frac{ x^2+4x-3 }{ x^2+7 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
}
{
Die Ableitung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2+4x-3 }{ x^2+7 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (x^2+7) (2x+4)- 2x (x^2+4x-3) }{ (x^2+7)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(0)
}
{ =} { { \frac{ 28 }{ 49 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(2)
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(2)
}
{ =} { { \frac{ 88-36 }{ 121 } }
}
{ =} { { \frac{ 52 }{ 121 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Daten legen die linearen Approximationen fest. Wir setzen das gesuchte Polynom als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} {ax^3+bx^2+cx+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an. Die Ableitung davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h'(x)
}
{ =} {3ax^2+2bx+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus den Werten an der Stelle $0$ folgt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit verbleiben die beiden Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(2)
}
{ =} { 8 a +4b + 2 \cdot { \frac{ 4 }{ 7 } } - { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h'(2)
}
{ =} { 12 a +4b + { \frac{ 4 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 52 }{ 121 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Differenz dieser beiden Gleichungen führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4a + { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 11 } } - { \frac{ 52 }{ 121 } }
}
{ =} { { \frac{ 99-52 }{ 121 } }
}
{ =} { { \frac{ 47 }{ 121 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-4a
}
{ =} { { \frac{ 47 }{ 121 } } - { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 329 -121 }{ 847 } }
}
{ =} { { \frac{ 208 }{ 847 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {- { \frac{ 52 }{ 847 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { -3a - { \frac{ 1 }{ 7 } } + { \frac{ 13 }{ 121 } }
}
{ =} { 3 \left( \frac{ 52 }{ 847 } \right) - { \frac{ 1 }{ 7 } } + { \frac{ 13 }{ 121 } }
}
{ =} { { \frac{ 156 -121 + 91 }{ 847 } }
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 121 } }
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} { - { \frac{ 52 }{ 847 } } x^3 + { \frac{ 18 }{ 121 } } x^2 +{ \frac{ 4 }{ 7 } } x - { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathl{\sin^{ 3 } x}{.}
}
{
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ 3 } t \, d t
}
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin t \cdot \sin^{ 2 } t \, d t
}
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin t \cdot { \left( 1- \cos^{ 2 } t \right) } \, d t
}
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin t \, d t - \int_{ 0 }^{ x } (\sin t \cos t) \cos t \, d t
}
{ =} {\int_{ 0 }^{ x } \sin t \, d t - { \left( \frac{ \sin^{ 2 } t }{ 2} \cos t \right) } | _{ 0 } ^{ x } - \frac{1}{2} { \left( \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ 3 } t \, d t \right) }
}
}
{}
{}{.}
Durch Multiplikation mit
\mathl{2}{} und Umstellen erhält man
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 3 \int_{ 0 }^{ x } \sin^{ 3 } t \, d t
}
{ =} {2 \int_{ 0 }^{ x } \sin t \, d t - \sin^{ 2 } x \cos x
}
{ =} {- 2 \cos x - \sin^{ 2 } x \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mathdisp {- { \frac{ 2 }{ 3 } } \cos x - { \frac{ 1 }{ 3 } } \sin^{ 2 } x \cos x} { }
eine Stammfunktion von
\mathl{\sin^{ 3 } x}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
die durch die Matrix
\mathl{M= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {}
festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 9 \\14 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 22 \\14 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz
\mathdisp {\begin{pmatrix} 9 \\14 \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}} { }
bzw.
\mathdisp {9 = a+4b \text{ und } 14 = 4a + 2b} { }
führt auf
\mathdisp {-19 = -7a} { }
und damit auf
\mathkor {} {a = { \frac{ 19 }{ 7 } }} {und} {b = { \frac{ 11 }{ 7 } }} {.}
Der Ansatz
\mathdisp {\begin{pmatrix} 22 \\14 \end{pmatrix} =c \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}} { }
bzw.
\mathdisp {22 = c + 4d \text{ und } 14 = 4c + 2d} { }
führt auf
\mathdisp {-6 = -7 c} { }
und damit auf
\mathkor {} {c = { \frac{ 6 }{ 7 } }} {und} {d = { \frac{ 37 }{ 7 } }} {.}
Daher ist die beschreibende Matrix von $\varphi$ bezüglich der Basis
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}} {}
gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 19 }{ 7 } } & { \frac{ 6 }{ 7 } } \\ { \frac{ 11 }{ 7 } } & { \frac{ 37 }{ 7 } } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+4)}
{
Es sei
\mathl{K}{} ein Körper,
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
a) Zeige, dass der Kern von $\varphi$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{
a) Bei einer linearen Abbildung ist
\mathl{\varphi(0)=0}{,} also ist
\mathl{0 \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Es seien
\mathl{u,v \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ = }{ 0+0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
}
{}{}{,} also
\mathl{u+v \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Für
\mathl{v \in \operatorname{kern} \varphi}{} und
\mathl{a \in K}{} ist schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(av)
}
{ =} { a \varphi(v)
}
{ =} { a 0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{av \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Damit ist der Kern ein Untervektorraum von $V$.
b) \teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
a) Bestimme, ob die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
b) Finde eine Lösung für das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Wir berechnen die Determinante der Matrix. Diese ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det M
}
{ =} { (2+5 { \mathrm i} ) (6-2 { \mathrm i} ) -(3-4 { \mathrm i} ) (1-2 { \mathrm i} )
}
{ =} { 12 +10 +30 { \mathrm i} -4 { \mathrm i} - (3-8 -4 { \mathrm i} -6 { \mathrm i} )
}
{ =} {27 + 36 { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Insbesondere ist die Matrix invertierbar.
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} {2 \begin{pmatrix} \det M \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher können wir direkt eine Lösung angeben, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { 2 \begin{pmatrix} 6-2 { \mathrm i} \\-(3 -4 { \mathrm i} ) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 12-4 { \mathrm i} \\-6 +8 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist ja
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2(6-2 { \mathrm i} ) \\2(-3 +4 { \mathrm i} ) \end{pmatrix}
}
{ =} { 2 \begin{pmatrix} (2+5 { \mathrm i} )(6-2 { \mathrm i} ) + (1-2 { \mathrm i} )( -3+4 { \mathrm i} ) \\(3-4 { \mathrm i} )(6-2 { \mathrm i} ) +(6-2 { \mathrm i} ) (-3+4 { \mathrm i} ) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \det M \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}