Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/50/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 8 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 5 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Der \stichwort {Betrag} {} einer reellen Zahl.
}{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}
}{Die \stichwort {höheren Ableitungen} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {rekursive Definition} {} {.}
}{Die durch eine Matrix \stichwort {festgelegte} {} lineare Abbildung.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Die \stichwort {Summenregel} {} für reelle Folgen.}{Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Nachts sind alle Katzen grau}{.} \aufzaehlungzwei {Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht. } {Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte \anfuehrung{Gaumenfreude}{} zu ernähren. Eine Tafel
besitzt einen Energiewert von
\mathl{2300}{} kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist
\mathl{10000}{} kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag
\zusatzklammer {gerundet auf zwei Nachkommastellen} {} {}
und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \setminus C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen
\maabb {\varphi} {L} {M
} {}
zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {a} {e} {f} {h} {e} }
{\mazeileunddrei {a} {c} {d} }
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {5} {6} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {e} {f} {d} {e} }
{\mazeileunddrei {a} {b} {a} }
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {e} {f} {d} {e} }
{\mazeileundzwei {b} {a} }
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {2} {1} {4} {3} {6} }
{\mazeileunddrei {5} {8} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {h} {b} {f} {d} {e} }
{\mazeileunddrei {c} {g} {a} }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{8} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
In $\Q$ sei eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegeben, deren Anfangsglieder durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{ 0,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2
}
{ = }{ 0,73
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_3
}
{ = }{ 0,734
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind. Muss die Folge in $\Q$ konvergieren? Muss die Folge in $\R$ konvergieren? Kann die Folge in $\Q$ konvergieren? Kann die Folge in $\R$ konvergieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (5+3)}
{
Wir betrachten die durch
\mathdisp {x_n = \sqrt[ n ]{n}} { }
definierte Folge (\mathlk{n \geq 1}{}). Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Für $n \geq 3$ ist die Folge monoton fallend.
} {Die Folge konvergiert gegen \mathlk{1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {.}
Zeige, dass es zu jedem
\mathl{\lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1}{,} eine Nullfolge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in \R_+}{} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
\mathdisp {{ \frac{ f(x_n) -f(0) }{ x_n } }} { }
gegen $\lambda$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Ableitung der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ e^x- \cos x }{ x^2+5x-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die \stichwort {Kettenregel} {} für differenzierbare Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige mit Hilfe der
\definitionsverweis {harmonischen Reihe}{}{,}
dass es für das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_{ 1 }^{ m } { \frac{ 1 }{ x } } \, d x}{} keine von $m$ unabhängige obere Schranke gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit
\definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur reellen
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}