Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/50/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 8 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 5 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}

}{Der \stichwort {Betrag} {} einer reellen Zahl.

}{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}

}{Die \stichwort {höheren Ableitungen} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {rekursive Definition} {} {.}

}{Die durch eine Matrix \stichwort {festgelegte} {} lineare Abbildung.

}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } }
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k  ! ( n - k)! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Für eine reelle Zahl
\mathl{x \in \R}{} ist der Betrag folgendermaßen definiert.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ =} { \begin{cases} x, \text{ falls } x \geq 0 \, , \\ -x, \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Die Menge
\mathdisp {\R^2} { }
mit \mathkor {} {0 \defeq (0,0)} {und} {1 \defeq (1,0)} {,} mit der komponentenweisen Addition und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a,b) \cdot (c,d) }
{ \defeq} { (ac-bd, ad+bc) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. }{Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie
\mathl{(n-1)}{-}mal differenzierbar ist und die
\mathl{(n-1)}{-}te Ableitung, also
\mathl{f^{(n-1)}}{,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Die Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)} (x) }
{ \defeq} {(f^{(n-1)})' (x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$. }{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w } }
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ (a_{ij})_{ij} }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß Satz 24.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung. }{Der Endomorphismus $\varphi$ heißt \stichwort {diagonalisierbar} {,} wenn $V$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $\varphi$ besitzt. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Die \stichwort {Summenregel} {} für reelle Folgen.}{Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}{Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} konvergente Folgen in $\R$. Dann ist die Folge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n + y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine stetige Funktion. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{

Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Nachts sind alle Katzen grau}{.} \aufzaehlungzwei {Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht. } {Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht. }

}
{

\aufzaehlungzwei {In dieser Nacht gibt es eine Katze, die nicht grau ist. } {Es gibt eine Nacht und eine Katze, die in dieser besagten Nacht nicht grau ist. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte \anfuehrung{Gaumenfreude}{} zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von
\mathl{2300}{} kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist
\mathl{10000}{} kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag \zusatzklammer {gerundet auf zwei Nachkommastellen} {} {} und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

}
{

Er muss pro Tag ca.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 10000 }{ 2300 } } }
{ =} { 4{,}35 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Tafeln essen, in der Woche also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 \cdot 4{,}35 }
{ =} { 30{,}45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Tafeln.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es seien $A,\, B$ und $C$ Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \setminus C \right) } }
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Es sei
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \setminus C \right) }}{.} Das bedeutet $x \in A$ und
\mathl{x \notin B \setminus C}{.} Dies wiederum bedeutet
\mathl{x \notin B}{} oder
\mathl{x \in B \cap C}{.} Somit ist insgesamt
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }}{.}

Es sei nun umgekehrt
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }}{.} Bei
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) }}{} ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{x \notin B}{} und somit ist insbesondere
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \setminus C \right) }}{.} Ist hingegen
\mathl{x \in A \cap C}{,} so ist bei
\mathl{x \in A \setminus B}{} die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall
\mathl{x \in B}{} betrachten. In diesem Fall ist
\mathl{x \notin B \setminus C}{} und somit ist ebenfalls
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \setminus C \right) }}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen \maabb {\varphi} {L} {M } {} zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv? \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {a} {e} {f} {h} {e} }
{\mazeileunddrei {a} {c} {d} } }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {5} {6} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {e} {f} {d} {e} }
{\mazeileunddrei {a} {b} {a} } }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} \wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {e} {f} {d} {e} }
{\mazeileundzwei {b} {a} } }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {2} {1} {4} {3} {6} }
{\mazeileunddrei {5} {8} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {h} {b} {f} {d} {e} }
{\mazeileunddrei {c} {g} {a} } }

}
{

\aufzaehlungvier{Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle $4$ auf $h$ abgebildet werden soll, aber $h$ nicht zur Wertemenge gehört. }{Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle $5$ einerseits auf $e$ und andererseits auf $a$ abgebildet werden soll. }{Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für $8$ festlegt. }{Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.

}
{

Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(X-a)Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ =} { (a-a) Q(a) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { (X-a)Q +R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ =} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (X-a)Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{8} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }

}
{

Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{8} }
{ <} { \sqrt{5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+8 + 2 \sqrt{24} }
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{8} \right) }^2 }
{ <} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2 }
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30} }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \sqrt{24} }
{ <} { 2 \sqrt{30} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{8} }
{ <} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

In $\Q$ sei eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegeben, deren Anfangsglieder durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ = }{ 0,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2 }
{ = }{ 0,73 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_3 }
{ = }{ 0,734 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind. Muss die Folge in $\Q$ konvergieren? Muss die Folge in $\R$ konvergieren? Kann die Folge in $\Q$ konvergieren? Kann die Folge in $\R$ konvergieren?

}
{

Es sind nur die ersten Folgenglieder vorgegeben, die Folge kann beliebig weitergehen. Wenn beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ = }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so konvergiert die Folge weder in $\Q$ noch in $\R$. Die Folge muss also nicht konvergieren. Wenn hingegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so konvergiert die Folge sowohl in $\Q$ als auch in $\R$ gegen $0$. Die Folge kann also konvergieren.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{8 (5+3)}
{

Wir betrachten die durch
\mathdisp {x_n = \sqrt[ n ]{n}} { }
definierte Folge (\mathlk{n \geq 1}{}). Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungzwei {Für $n \geq 3$ ist die Folge monoton fallend. } {Die Folge konvergiert gegen \mathlk{1}{.} }

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[n]{n} }
{ =} { n^{ { \frac{ 1 }{ n } } } }
{ =} { (e^{ \ln n } )^{ { \frac{ 1 }{ n } } } }
{ =} { e^{ { \frac{ \ln n }{ n } } } }
{ } { }
} {} {}{.}

1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} { e^{ { \frac{ \ln x }{ x } } } } {,} und zeigen, dass diese Funktion für
\mathl{x \geq 3}{} fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen
\mathl{n \geq 3}{.} Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass \maabbeledisp {g} {\R_+} {\R } {x} { { \frac{ \ln x }{ x } } } {,} für
\mathl{x \geq 3}{} fallend ist. Dazu ziehen wir Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion $g$. Diese ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g'(x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^2 } } - { \frac{ \ln x }{ x^2 } } }
{ =} { { \frac{ 1 - \ln x }{ x^2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Für
\mathl{x \geq 3 > e}{} ist
\mathl{\ln x \geq 1}{} und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.

2. Wir zeigen, dass
\mathl{{ \frac{ \ln n }{ n } }}{} für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} gegen
\mathl{0}{} konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt
\mathl{n}{} auch
\mathl{e^k}{} einsetzen, was zur Folge
\mathl{{ \frac{ k }{ e^k } }}{} führt. Für diese Folge gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ k }{ e^k } } }
{ \leq} { { \frac{ k }{ 1+k + { \frac{ 1 }{ 2 } } k^2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ k } } }{ { \frac{ 1 }{ k^2 } }+{ \frac{ 1 }{ k } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } } } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{,} ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also $0$. Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit
\mathl{e^{ { \frac{ \ln n }{ n } } }}{} gegen
\mathl{e^0 = 1}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.

}
{

ungefähr
\mathl{0,347}{}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Wir betrachten die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.} Zeige, dass es zu jedem
\mathl{\lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1}{,} eine Nullfolge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in \R_+}{} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
\mathdisp {{ \frac{ f(x_n) -f(0) }{ x_n } }} { }
gegen $\lambda$ konvergiert.

}
{

Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ [-1,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ {]0,2 \pi]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin u }
{ = }{ \lambda }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ u+ 2 \pi n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist offenbar eine Nullfolge in $\R_+$. Die zugehörigen Differenzenquotienten sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f(x_n) }{ x_n } } }
{ =} { { \frac{ x_n \sin { \frac{ 1 }{ x_n } } }{ x_n } } }
{ =} { \sin { \frac{ 1 }{ x_n } } }
{ =} { \sin \left( u + 2 \pi n \right) }
{ =} { \sin u }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \lambda }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Also ist die Folge dieser Differenzenquotienten konstant gleich $\lambda$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme die Ableitung der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ e^x- \cos x }{ x^2+5x-6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f'(x) }
{ =} { { \frac{ { \left( e^x- \cos x \right) }' { \left( x^2+5x-6 \right) } - { \left( e^x- \cos x \right) } { \left( x^2+5x-6 \right) }' }{ { \left( x^2+5x-6 \right) }^2 } } }
{ =} { { \frac{ { \left( e^x + \sin x \right) } { \left( x^2+5x-6 \right) } - { \left( e^x- \cos x \right) } { \left( 2 x+5 \right) } }{ x^4+ 10 x^3 +13 x^2 -60x+36 } } }
{ =} { { \frac{ x^2 e^x +5xe^x - 6e^x +x^2 \sin x +5x \sin x -6 \sin x - 2x e^x-5e^x +2x \cos x + 5 \cos x }{ x^4+ 10 x^3 +13 x^2 -60x+36 } } }
{ =} { { \frac{ x^2 e^x +3xe^x - 11e^x +x^2 \sin x +5x \sin x -6 \sin x +2x \cos x + 5 \cos x }{ x^4+ 10 x^3 +13 x^2 -60x+36 } } }
} {} {}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise die \stichwort {Kettenregel} {} für differenzierbare Funktionen.

}
{

Aufgrund von Satz 14.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) kann man
\mathdisp {f ( x) = f ( a) + f' ( a) ( x - a) + r (x) ( x - a)} { }
und
\mathdisp {g ( y) = g ( f(a)) + g' ( f(a)) ( y - f(a)) + s (y) ( y - f(a))} { }
schreiben. Daher ergibt sich \zusatzklammer {wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{g(f(x)) }
{ =} { g ( f(a)) + g' ( f(a)) ( f(x) - f(a)) + s (f(x)) ( f(x) - f(a)) }
{ =} { g(f(a)) +g'(f(a)) { \left( f'(a)(x-a) +r(x)(x-a) \right) } \bruchhilfealign +s(f(x)) { \left( f'(a)(x-a) +r(x)(x-a) \right) } }
{ =} { g(f(a)) +g'(f(a)) f'(a)(x-a) \bruchhilfealign + { \left( g'(f(a)) r(x) + s(f(x)) (f'(a) +r(x) ) \right) } (x-a) }
{ } { }
} {} {}{.} Die hier ablesbare Restfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t(x) }
{ \defeq} { g'(f(a)) r(x) + s(f(x)) (f'(a) +r(x) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige mit Hilfe der \definitionsverweis {harmonischen Reihe}{}{,} dass es für das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_{ 1 }^{ m } { \frac{ 1 }{ x } } \, d x}{} keine von $m$ unabhängige obere Schranke gibt.

}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R_{\geq 1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n-1 }
{ \leq }{x }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \geq }{ { \frac{ 1 }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Deshalb ist auf
\mathl{[1,m]}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{m }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall
\mathl{[n-1,n[}{} den Wert ${ \frac{ 1 }{ n } }$ besitzt, eine \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $1/x$. Das zugehörige \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} hat den Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ m } } }
{ =} { \sum_{k = 2}^m { \frac{ 1 }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist diese Summe ein \definitionsverweis {unteres Treppenintegral}{}{} von $1/x$ auf
\mathl{[1,m]}{.} Jede obere Schranke zu $1/x$ liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von $m$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 69 & -19 & -30 \\ -3 & 34 & -6 \\ 48 & -9 & -21 \\ 11 & -16 & 36 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist

}
{

Offensichtlich gehören die Vektoren
\mathl{e_1,e_2}{} zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum


}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

}
{

Die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathbed {e_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} besteht aus $n$ Vektoren, also ist die Dimension $n$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{

\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -7 & 1 & -{ \frac{ 1 }{ 4 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 7 }{ 5 } } & - { \frac{ 1 }{ 5 } } & { \frac{ 1 }{ 20 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 2 }{ 5 } } & { \frac{ 1 }{ 5 } } & - { \frac{ 1 }{ 20 } } \\ { \frac{ 7 }{ 5 } } & - { \frac{ 1 }{ 5 } } & { \frac{ 1 }{ 20 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} } }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} mit \definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur reellen \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }

}
{

Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \begin{pmatrix} x & -1 & -1 \\ -1 & x & -1 \\-1 & -1 & x \end{pmatrix} }
{ =} { x (x^2-1) - x -1 -1 -x }
{ =} { x^3 -3 x -2 }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Nullstelle, daher haben wir \zusatzklammer {Division mit Rest} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x^3 -3 x -2 }
{ =} { (x+1) (x^2 -x -2) }
{ =} { (x+1) (x+1) (x-2) }
{ =} { (x+1)^2(x-2) }
{ } { }
} {} {}{.} Somit ist $-1$ ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit $2$ und $2$ ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit $1$.

Der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\-1 & -1 & -1 \end{pmatrix}}{} ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} + \R \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix}} { . }
Daher ist die geometrische Vielfachheit zu $-1$ ebenfalls $2$. Der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\-1 & -1 & 2 \end{pmatrix}}{} ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}} { }
und die geometrische Vielfachheit zu $2$ ist $1$.


}