Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/51/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 10 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.
}{Eine reelle \stichwort {Intervallschachtelung} {.}
}{Ein \stichwort {isoliertes} {} lokales Maximum einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über hintereinandergeschaltete stetige Funktionen.}{Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.}{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: \anfuehrung{Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Berechne
\mathdisp {(-1)^{73420504063658}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Betrachte die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ (-1)^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Anhang) treffen zu?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+3+1)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \ln x + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die erste und die zweite Ableitung von $f$.
}{Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
}{Bestimme das Monotonieverhalten von $f$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei
\maabbdisp {s_n} {[a,b] } {\R
} {}
diejenige untere Treppenfunktion zu $f$ zur äquidistanten Unterteilung in $n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
\mathdisp {I_j=[a+ { \frac{ (j-1)(b-a) }{ n } } ,a+ { \frac{ j(b-a) }{ n } } [, \, j=1 , \ldots , n} { , }
\zusatzklammer {für
\mathl{j=n}{} sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen} {} {}
das Infimum von
\mathbed {f(x)} {}
{x \in I_j} {}
{} {} {} {,}
annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu $s_n$ gegen
\mathl{\int_a^b f(x)dx}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Wir betrachten die beiden Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {-x^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
} {Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Beschreibe die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft, in Punktvektorform.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+1+1)}
{
In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ \euro . Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ \euro . Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro. \aufzaehlungdrei{Kann man daraus die Preise rekonstruieren? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 7 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\6\\ 9 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} die \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Wir betrachten Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}} { . }
}{Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
}{Bestimme die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{.}
}{Man gebe eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\d & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
an, die nicht invertierbar ist.
}{Sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { }
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Anhang}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei
\mathl{x \in K}{.}
\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}