Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/51/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 10 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.
}{Eine reelle \stichwort {Intervallschachtelung} {.}
}{Ein \stichwort {isoliertes} {} lokales Maximum einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
}{Eine Folge von abgeschlossenen
\definitionsverweis {Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $\R$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1}
}
{ \subseteq }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n \in \N}{} ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \neq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ >} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Zu
\mathbed {x \in \R} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
heißt die Zahl
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
der Differenzenquotient von $f$ zu
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
}{Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ableitung $f'(a)$ zuordnet.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle
}
{ =} { { \left\{ \sum_{i \in J} s_i v_i \mid s_i \in K , \, J \subseteq I \text{ endliche Teilmenge} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über hintereinandergeschaltete stetige Funktionen.}{Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.}{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen und
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
und
\maabbdisp {g} {E} {\R
} {}
Funktionen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(D)
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $g$ in
\mathl{f(x)}{} stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung
\mathl{g \circ f}{} in $x$ stetig.
} {Wenn
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
stetig sind, so ist auch
\mathl{g \circ f}{} stetig.
}}{Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
\maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1]
} {,}
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
\maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1]
} {.}}{Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: \anfuehrung{Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email}{.}
}
{
Wenn Sie nicht mit Ihrer Uni-email antworten, dann haben Sie mein Schreiben nicht vollständig gelesen oder nicht verstanden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
}
{
Wir definieren
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} b,\, \text{ wenn } x = a \, , \\ a,\, \text{ wenn } x = b \, , \\ x \text{ sonst} \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Berechne
\mathdisp {(-1)^{73420504063658}} { . }
}
{
Das Ergebnis ist $1$, da der Exponent gerade ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{
Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1}
}
{ =} { (a+b) (a+b)^n
}
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k}
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+2b+4c
}
{ =} {-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3b-3c
}
{ =} {11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 3 } } - b
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 3 } } +2
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {-b-c
}
{ =} { 2+ { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 11 }{ 3 } } - 2X - { \frac{ 5 }{ 3 } } X^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Betrachte die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ (-1)^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Anhang) treffen zu?
}
{
Richtig sind (4), (5), (6), (7).
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{
Für jedes $x$ und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1) { \left( \sum_{ k = 0}^n x^k \right) }
}
{ =} { x^{n+1} -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gilt für die
\definitionsverweis {Partialsummen}{}{}
die Beziehung
\zusatzklammer {bei $x \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n x^k
}
{ =} { \frac{ x^{n+1} -1}{ x-1 }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
dies wegen
Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Aufgabe 8.25 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{-1}{x-1}
}
{ = }{ \frac{1}{1-x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+3+1)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \ln x + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die erste und die zweite Ableitung von $f$.
}{Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
}{Bestimme das Monotonieverhalten von $f$.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } } - { \frac{ 1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } } { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ x } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ x } } - { \frac{ 1 }{ x^2 } } \right) }'
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ x^2 } } + { \frac{ 2 }{ x^3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } } { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ x } } \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 - { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw. auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die einzige Nullstelle der Ableitung ist also in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(1)
}
{ =} { -1+2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt an dieser Stelle ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat und da keine Randpunkte zu beachten sind, handelt es sich um ein globales Minimum.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } }
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } } { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ x } } \right) }
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } } { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ x } } \right) }
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist $f$ auf
\mathl{]0,1]}{} streng fallend und auf
\mathl{\R_{\geq 1}}{} streng wachsend.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{10}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei
\maabbdisp {s_n} {[a,b] } {\R
} {}
diejenige untere Treppenfunktion zu $f$ zur äquidistanten Unterteilung in $n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
\mathdisp {I_j=[a+ { \frac{ (j-1)(b-a) }{ n } } ,a+ { \frac{ j(b-a) }{ n } } [, \, j=1 , \ldots , n} { , }
\zusatzklammer {für
\mathl{j=n}{} sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen} {} {}
das Infimum von
\mathbed {f(x)} {}
{x \in I_j} {}
{} {} {} {,}
annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu $s_n$ gegen
\mathl{\int_a^b f(x)dx}{} konvergiert.
}
{
Es sei
\mathl{c= \int_a^b f(x)dx}{.} Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen
\mathl{u_n}{} derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen $c$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den $s_n$ gilt. Es sei
\mathl{\epsilon > 0}{} vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }}{} ein
\mathl{k}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq k}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c- \int_a^b u_n(x) dx
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu $s_n$ mit dem Treppenintegral zu $u_k$. Es sei $m$ die Anzahl der Unterteilungspunkte von $u_k$ und es sei $d \in \R_+$ eine absolute Schranke für $f$. Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_k
}
{ \leq} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n
}
{ \geq} {-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wählen $n_0$ so, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ b-a }{ n_0 } } m d
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Es sei
\mathl{n \geq n_0}{} fixiert. Von den $n$ Teilintervallen gibt es maximal $m$ Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu $u_k$ liegt. Es sei
\mathl{J \subseteq \{1 , \ldots , n\}}{} die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall $I_j$ mit
\mathl{j \not\in J}{} ist $u_k$ konstant und es gilt dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_k
}
{ \leq} { s_n
}
{ \leq} { f
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{I_j} u_k(x)dx
}
{ \leq} {\int_{I_j} s_n(x)dx
}
{ \leq} {\int_{I_j} f(x)dx
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Auf einem Intervall $I_j$ mit
\mathl{j \in J}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{I_j} u_k(x)dx
}
{ \leq} { d { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{I_j} s_n(x)dx
}
{ \geq} { -d { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{c- \int_a^b s_n(x) dx
}
{ =} { c - \sum_{j =1}^n\int_{I_j} s_n (x) dx
}
{ =} { c - \sum_{j \not \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx - \sum_{j \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx
}
{ \leq} { c - \sum_{j \not \in J} \int_{I_j} u_k (x) dx - \sum_{j \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx
}
{ =} {c- \int_a^b u_k (x) dx + \sum_{j \in J} \int_{I_j} u_k (x) dx- \sum_{j \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} {{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }+ d m { \frac{ b-a }{ n } } + d m { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ \leq} {{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }+{ \frac{ \epsilon }{ 4 } }+{ \frac{ \epsilon }{ 4 } }
}
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
Wir betrachten die beiden Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {-x^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
} {Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-1
}
{ =} {-x^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x^2
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {(-1,0)} {und} {(1,0)} {.}
} {Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ist das Doppelte des Flächeninhalts unterhalb des Graphen zu $g$ und oberhalb der $x$-Achse zwischen
\mathkor {} {-1} {und} {1} {.}
Dieser ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{-1}^1 -x^2+1 dx
}
{ =} { \left( - { \frac{ 1 }{ 3 } }x^3 +x \right) | _{ -1 } ^{ 1 }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 3 } } +1 - { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } -1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der gesuchte Flächeninhalt ist also
\mathl{{ \frac{ 8 }{ 3 } }}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Beschreibe die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft, in Punktvektorform.
}
{
Die Gerade wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 5 \\-7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} \right ) \mid t \in \R \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\-10 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (3+1+1)}
{
In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ \euro . Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ \euro . Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro. \aufzaehlungdrei{Kann man daraus die Preise rekonstruieren? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind? }
}
{
\aufzaehlungdrei{
Es sei $x$ der Preis für den Schokoriegel, $y$ der Preis für die Packung Brausepulver, $z$ der Preis für eine saure Zunge. Die drei Einkäufe führen zu den drei Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+2y+3z
}
{ =} {1,3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x+y+2z
}
{ =} {1,6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3y+4z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Gleichung $2 I -II$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y+4z
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies stimmt mit der dritten Gleichung überein, daher ist das Gleichungssystem äquivalent zum System
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+2y+3z
}
{ =} {1,3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3y+4z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit zwei Gleichungen. Dabei führt jede Vorgabe von $z$ zu einer Lösung und die Preise sind nicht ermittelbar.
}{Es gibt die Lösungen
\zusatzklammer {in Cent} {} {}
\mathkor {} {(60,20,10)} {und} {(61,24,7)} {,}
die Lösungen sind also auch unter der zusätzlichen Bedingung nicht eindeutig.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben wir die Lösung
\mathl{(60,20,10)}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{20
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 20/3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also kein Vielfaches der $10$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \geq }{30
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z
}
{ \geq} {120
}
{ >} {100
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zweite Gleichung kann nicht unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt werden. Es gibt also nur eine Lösung.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 7 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\6\\ 9 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -3 & 6 \\7 & 4 & 9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist
\matabellezweisechs {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -3 & 6 \\7 & 4 & 9 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & - { \frac{ 9 }{ 2 } } & - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ 17 }{ 2 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - { \frac{ 3 }{ 2 } } & 1 & 0 \\- { \frac{ 7 }{ 2 } } & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & - { \frac{ 9 }{ 2 } } & - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & 0 & - { \frac{ 26 }{ 3 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - { \frac{ 3 }{ 2 } } & 1 & 0 \\- { \frac{ 11 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 9 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 5 }{ 2 } } \\ 0 & 1 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 2 }{ 9 } } & 0 \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & { \frac{ 7 }{ 3 } } \\ 0 & 1 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 9 } } & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 2 }{ 9 } } & 0 \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 26 } } & { \frac{ 11 }{ 78 } } & { \frac{ 7 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & - { \frac{ 17 }{ 78 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
} }
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 26 } } & { \frac{ 11 }{ 78 } } & { \frac{ 7 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & - { \frac{ 17 }{ 78 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} die \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten den Vektorraum
\mathl{K^{(\N)}}{} mit der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {e_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement $e_0$ auf sich selbst und die weiteren Basiselemente $e_n$ auf $e_{n-1}$ schickt. Dann werden
\mathl{e_0}{} und $e_1$ beide auf $e_0$ abgebildet und die Abbildung ist daher nicht injektiv. Hingegen wird jedes Basiselement $e_n$ durch $e_{n+1}$ getroffen, und somit ist diese lineare Abbildung surjektiv.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Wir betrachten Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}} { . }
}{Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
}{Bestimme die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{.}
}{Man gebe eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\d & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
an, die nicht invertierbar ist.
}{Sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { }
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} af+bi & 0 & ag+bj \\ 0 & ch & 0 \\df+ei & 0 & dg+ej \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Wenn man oben die Reihenfolge vertauscht, ergibt sich als Eintrag links oben
\mathl{af+gd}{} und nicht
\mathl{af+bi}{.}
}{Die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{} ist gleich
\mathl{c(ae-db)}{.}
}{Die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
ist nicht invertierbar, da die erste und die dritte Zeile übereinstimmen.
}{Es sei
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{} invertierbar. Dann ist zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ae-bd
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da die Determinante gleich
\mathl{c(ae-db)}{} ist.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & 0 & -b \\ 0 & ( ae-bd )c^{-1} & 0 \\-d & 0 & a \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} ae-bd & 0 & 0 \\ 0 & ae-bd & 0 \\0 & 0 & ae-bd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ ae-bd } } \begin{pmatrix} e & 0 & -b \\ 0 & ( ae-bd )c^{-1} & 0 \\-d & 0 & a \end{pmatrix}} { }
die inverse Matrix und diese ist wieder von diesem Typ.
}
}
\zwischenueberschrift{Anhang}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei
\mathl{x \in K}{.}
\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}